一階線性非齊次常微分方程結果中 ln函數 不加絕對值和定積分常數省略的問題


一.事件起因

二.嘗試解決

說是絕對值,但其實問題的核心還是在於為何代入公式計算的時候完全略去了定積分得到的常數C(絕對值可以被一個任意常數C作為系數抵消)
對於一直以來怠惰而且不求甚解的我來說,這也是個不能忽視的問題,經過自己冥思苦想無果后,我重新審視了常熟變易法證明該公式的過程

證明過程(2.29)中我們可以看到\(c(x)\)就是(2.3)解方程后得到的任意常數c,所以\(e^{\int{P(x)dx}}\)的定積分所解出來的常數C已經包括在c(x)內
所以對於\(e^{\int{P(x)dx}}\)的解不再需要一個額外的常數
而公式末尾的\(\widehat{c}\)則來源於對\(\frac{dc(x)}{dx} = Q(x)e^{-\int{P(x)dx}}\)左右兩側的積分
而由於c(x)涵蓋了\(e^{\int{P(x)dx}}\)的常數,所以 \(\widehat{c}\) 也體現了\(e^{\int{P(x)dx}}\)的常數


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