淺談數值微分方程中的穩定性

本文寫於資格考試前前夕，權以淺淺談當整理復習

穩定性討論主要基於 Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations (LeVeque, 2007)

首先大致梳理一下本文打算簡單整理的穩定性：Zero Stability/Absolute Stability/A-Stability/L-Stability 以及 CFL condition。

穩定性初窺

穩定性(Stability)是數值格式的一種屬性，表示我們的數值格式在合理的設置下不會胡來，即數值解是有收斂性的；

在某種意義下，格式的穩定性配合上"格式與問題的一致性(Consistency)"，就能推出數值格式對於原問題的估計的收斂性(Convergence)。

然而很多時候一致性是非常好驗證的，因此為了得到收斂性，我們必須對穩定性進行研究。

這里插一句，數值格式雖然都是基於問題產生的，但是一旦寫出數值格式，它便描述了一種獨立於原問題的計算行為。這種行為在某些合理的設置下可能是對原問題的一種逼近。

這種把格式行為和原問題獨立開思考的方式，是 modified equation 方法分析方程的一個出發點。

為什么有這么多的穩定性

這里首先按強弱排個序：Zero Stability/Absolute Stability/A-Stability/L-Stability，再逐個介紹。

1. Zero Stability: 在一致性保證下，等價於收斂性，於是指截斷誤差(LTE)隨計算步長趨向0而趨向0；[資格考試前一小時更新：這個stability 應該是對測試函數\(u'=0\)分析得到的]
2. Absolute Stability: 上述穩定性僅保證步長趨向0時收斂，但並沒有對步長給出建議，這個穩定性通過分析測試問題 \(u'= \lambda u\)，對步長給出建議；
3. A-Stability: 然而在PDE 問題里，簡單的半離散我們就能得到 \(\lambda \rightarrow \infty\) 的系統，於是我們希望Absolute Stability能覆蓋整個左半復平面，這種情況叫A-Stability；
4. L-Stability: 注意A-Stability包含一類情況是Absolute Stability Region 恰好為左半平面，這種時候無窮遠處的點是邊界點，其對應的收斂性是marginal convergence，於是我們希望無窮遠處也是內點，即A-Stability + \(\lim_{z \rightarrow\infty} R(z) = 0\)。

Von Neumann 分析

一種對於線性問題的簡單分析穩定性的方法。

CFL condition

定義是 數值格式的依賴域要包含原問題的依賴域，是數值格式收斂的一個必要條件。

這個必要性可以從如下角度分析： 數值格式的依賴域不包含原問題的依賴域，那么在原問題不被包含的位置發生的變化將無法改變數值格式的結果，於是數值格式不收斂到原問題；

合理性可以這樣看：如果數值格式的依賴域包含了原問題的依賴域，那么數值格式是原問題某種意義上的插值（尤其對於 Advection/Hyperbolic Equation）

不充分的例子可以參考用類似 LxW LxF 的格式求解Advection Equation的過程，CFL 給出的步長僅在合理的epsilon 下work，這里一個簡單的例子就是利用前向Euler 離散時間，中心差分離散空間(epsilon = 0）

其他

關於 PDE 數值格式穩定性分析，最直接的方法還是直接分析半離散矩陣的特征值分布是否在 ODE 的 Absolute Stability Region 中。

Modified Equation 能描述數值格式的行為，自然也能給出一些穩定性信息。