3.2 五點差分格式
3.2.1 五點差分格式的建立
(1) 建立差分格式
將區間 \([a,b]\) 做 \(m\) 等分，記
\[h_1 = \frac{b-a}{m}, \quad x_i = a + ih_1, \quad i=0,\cdots,m \]
將區間 \([c,d]\) 做 \(n\) 等分，記
\[h_2 = \frac{d-c}{n}, \quad y_j = c + jh_2, \quad j=0,\cdots,n \]
稱 \(h_1\) 為 \(x\) 方向步長，\(h_2\) 為 \(y\) 方向步長。用兩簇平行線 \(x = x_i\) 與 \(y=y_j\) 將區域 \(\Omega\) 剖分為 \(mn\) 個小矩形，稱兩簇直線的交點 \((x_i,y_j)\) 為網格結點。
所有結點構成集合
\[\Omega_h = \{ (x_i, y_j) \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \} \]
所有內結點構成集合
\[\mathring{\Omega}_h = \{ (x_i, y_j) \, | \, 1 \leqslant i \leqslant m-1, \, 1 \leqslant j \leqslant n-1\} \]
所有邊界結點構成集合
\[\Gamma_h = \Omega_h \setminus \mathring{\Omega}_h \]
為方便記
\[\omega = \{ (i, j) \, | \, (x_i, y_j) \in \mathring{\Omega}_h\}, \quad \gamma = \{ (i, j) \, | \, (x_i, y_j) \in \Gamma_h\}, \]
記
\[S_h = \left\{ v \, | \, v = \{ v_{ij} \, | \, \forall i, \forall j \} \text{為} \Omega_h \text{上的網格函數}\right\} \]
設 \(v = \{ v_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \} \in S_h\)，引進如下記號：
\[D_x v_{ij} = \frac{1}{h_1} (v_{i+1,j} - v_{ij}), \quad D_{\bar{x}} v_{ij} = \frac{1}{h_1} (v_{ij} - v_{i-1, j}), \]
\[D_y v_{ij} = \frac{1}{h_2} (v_{i,j+1} - v_{ij}), \quad D_{\bar{y}} v_{ij} = \frac{1}{h_2} (v_{ij} - v_{i, j-1}), \]
\[\delta_x^2 v_{ij} = \frac{1}{h_1} (D_x v_{ij} - D_{\bar{x}} v_{ij}), \quad \delta_y^2 v_{ij} = \frac{1}{h^2} (D_y v_{ij} - D_{\bar{y}} v_{ij}) \]
\[\| v \|_{\infty} = \max_{\forall i,j} |v_{ij}| \]
在結點處考慮邊值問題 \((3.1.1)\)，\((3.1.2)\) 有
\[- \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x_i, y_j) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (x_i, y_j) \right] = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.1} \]
\[u(x_i, y_j) = \varphi(x_i, y_j), \quad (i, j) \in \gamma \tag{3.2.2} \]
定義 \(\Omega_h\) 上的網格函數
\[U = \{U_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \}, \quad U_{ij} = u(x_i, y_j) \]
二階導數用二階中心差商來近似，由 引理 \(2.2.1\) 可知
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x_i, y_j) = \frac{1}{h_1^2} \left[ u(x_{i-1}, y_j) - 2 u(x_{i}, y_j) + u(x_{i+1}, y_j)\right] - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) = \delta_x^2 U_{ij} - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j), \quad x_{i-1} < \xi_{ij} < x_{i+1} \]
\[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (x_i, y_j) = \frac{1}{h_2^2} \left[ u(x_{i}, y_{j-1}) - 2 u(x_{i}, y_j) + u(x_{i}, y_{j+1})\right] - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}) =\delta_y^2 U_{ij} - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}), \quad y_{j-1} < \eta_{ij} < y_{j+1} \]
代入式 \((3.2.1)\)，可得
\[-(\delta_x^2 U_{ij} + \delta_y^2 U_{ij}) = f(x_i, y_j) - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}), \quad (i, j) \in \omega \tag{3.2.3} \]
\[U_{ij} = \varphi(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.4} \]
在上式中略去小量項
\[R_{ij} = - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}) \tag{3.2.5} \]
用 \(u_{ij}\) 代替 \(U_{ij}\) 得到如下差分格式
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.6} \]
\[u_{ij} = \varphi(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.7} \]
(2) 局部截斷誤差
稱 \(R_{ij}\) 為差分格式 \((3.2.5)\) 的局部截斷誤差，它表示為差分格式 \((3.2.5)\) 用精確解代替近似解后等式兩邊之差，即
\[R_{ij} = -\frac{1}{h_1^2} [u(x_{i-1}, y_j) - 2 u(x_i, y_j) + u(x_{i+1}, y_j)] -\frac{1}{h_2^2} [u(x_{i}, y_{j-1}) - 2 u(x_i, y_j) + u(x_{i}, y_{j+1})] - f(x_i, y_j) \]
記
\[M_4 = \max \left\{ \max_{(x,y) \in \bar{\Omega}} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} (x,y) \right|, \max_{(x,y) \in \bar{\Omega}} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} (x,y) \right| \right\} \tag{3.2.8} \]
則有
\[|R_{ij}| \leqslant \frac{(h_1^2 + h_2^2)}{12} M_4, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant j \leqslant n-1 \tag{3.2.9} \]
局部截斷誤差可以反映差分格式對原方程的近似程度，由上式顯然可知當 \(M_4 < \infty\) 時，差分格式 \((3.2.5)\) 與微分方程 \((3.1.1)\) 是相容的。
3.2.2 差分格式的求解
差分格式 \((3.2.6)\)，\((3.2.7)\) 是以 \((u_{ij})\) 可視為未知量的線性方程組，式 \((3.2.6)\) 可改寫為
\[-\frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1} - \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j} + 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) u_{ij} - \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j} - \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1} = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.10} \]
我們考慮將原始的差分格式寫成兩種形式：線性方程組與矩陣方程。
(1) 線性方程組形式
記
\[\begin{align*} \bm{u}_j = \begin{bmatrix} u_{1j} \\ u_{2j} \\ \vdots \\ u_{m-1,j} \end{bmatrix}, \quad 0 \leqslant j \leqslant n \end{align*} \]
利用式 \((3.2.7)\) 可將式 \((3.2.10)\) 改寫為
\[D \bm{u}_{j-1} + C \bm{u}_j + D \bm{u}_{j+1} = \bm{f}_j, \quad 1 \leqslant j \leqslant n-1 \tag{3.2.11} \]
其中，
\[\begin{align*} C = \begin{bmatrix} 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ & & & -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} D = \begin{bmatrix} -\frac{1}{h_2^2} \\ & -\frac{1}{h_2^2} \\ & & \ddots \\ & & & -\frac{1}{h_2^2} \\ & & & &-\frac{1}{h_2^2} \end{bmatrix}, \quad \bm{f}_j = \begin{bmatrix} f(x_1, y_j) + \frac{1}{h_1^2} \varphi(x_0, y_j) \\ f(x_2, y_j) \\ \vdots \\ f(x_{m-2}, y_j) \\ f(x_{m-1}, y_j) + \frac{1}{h_1^2} \varphi(x_m, y_j) \end{bmatrix} \end{align*} \]
將式 \((3.2.11)\) 進一步改寫成
\[\begin{align*} \begin{bmatrix} C & D \\ D & C & D \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & D & C & D \\ & & & D & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{u}_1 \\ \bm{u}_2 \\ \vdots \\ \bm{u}_{n-2} \\ \bm{u}_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{f}_1 - D \bm{u}_0 \\ \bm{f}_2 \\ \vdots \\ \bm{f}_{n-2} \\ \bm{f}_{n-1} - D \bm{u}_n \end{bmatrix} \end{align*} \tag{3.2.12} \]
上述線性方程組的系數矩陣是一個三對角塊矩陣，每一行至多有 \(5\) 個非零元素，通常稱這種絕大多數元素為 \(0\) 的矩陣為稀疏矩陣。常用迭代法求解以大型稀疏矩陣為系數矩陣的線性方程組。
(2) 矩陣方程形式
可以將式 \((3.2.6)\) 寫成
\[\begin{align*} \frac{1}{h_1^2} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{i-1,j} \\ u_{ij} \\ u_{i+1, j} \end{bmatrix} + \frac{1}{h_2^2} \begin{bmatrix} u_{i,j-1} & u_{ij} & u_{i, j+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \end{align*} = f(x_i, y_j) \]
進一步寫成
\[\frac{1}{h_1^2} A_{m-1} X + \frac{1}{h_2^2} X A_{n-1} = f + \frac{1}{h_1^2} u_{ub} + \frac{1}{h_2^2} u_{lr} \tag{3.2.13} \]
其中，
\[\begin{align*} A_k = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 \end{bmatrix}_{k \times k} \quad X = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1,n-1} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2,n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{m-1,1} & u_{m-1,2} & \cdots & u_{m-1,n-1} \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} u_{lr} = \begin{bmatrix} u_{10} & 0 & \cdots & 0 & u_{1,n} \\ u_{20} & 0 & \cdots & 0 & u_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ u_{m-1,0} & 0 & \cdots & 0 & u_{m-1,n} \end{bmatrix}, \quad u_{ub} = \begin{bmatrix} u_{01} & u_{02} & \cdots & u_{0,n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ u_{m1} & u_{m2} & \cdots & u_{m,n-1} \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} f = \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1,n-1} \\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2,n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m-1,1} & f_{m-1,2} & \cdots & f_{m-1,n-1} \end{bmatrix}, \quad f_{ij} = f(x_i, y_j) \end{align*} \]
式 \((3.2.13)\) 可寫成矩陣方程形式
\[AX + XB = C \tag{3.2.14} \]
\[A = \frac{1}{h_1^2} A_{m-1}, \quad B = \frac{1}{h_2^2} A_{n-1}, \quad C = f + \frac{1}{h_1^2} u_{ub} + \frac{1}{h_2^2} u_{lr} \]
(3) 性質
記式 \((3.2.12)\) 的系數矩陣為 \(G\)，即
\[\begin{align*} G = \begin{bmatrix} C & D \\ D & C & D \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & D & C & D \\ & & & D & C \end{bmatrix} \end{align*} \]
我們可以發現，線性方程組與矩陣方程是等價的，它們之間具體的關系可用下述定理描述。
定理 3.2.1
對式 \((3.2.11)\) 有
\[AX + XB = C \iff \left[ \text{Kron} (I, A) + \text{Kron} (B^T, I) \right] \text{vec}(X) = \text{vec}(C) \]
其中第一個單位矩陣的階數等於矩陣 \(X\) 的列數；第二個單位矩陣的階數等於矩陣 \(X\) 的行數。\(\text{vec}\) 表示將矩陣用列拉直的方式變為列向量。\(\text{Kron}\) 為兩矩陣的 \(\text{kronecker}\) 積。
表示為線性方程組時，可以發現系數矩陣不僅是一個稀疏矩陣，還具有良好的代數性質。
定理 3.2.2
式 \((3.2.9)\) 的系數矩陣 \(G\) 為對稱正定矩陣。
證明：系數矩陣 \(G\) 顯然是一個對稱矩陣。只需再證明該矩陣正定。
證畢。
(4) 求解的數值算法
由 \((3.2.9)\) 的線性方程組形式可以看出，該線性方程組的系數矩陣是一個三對角塊矩陣，每一行至多有 \(5\) 個非零元素，通常稱這種絕大多數元素為零的矩陣為稀疏矩陣。常用迭代法求解以大型稀疏矩陣為系數矩陣的線性方程組。
- \(\text{Jacobi}\) 迭代法 對 \(k=0,1,2,\cdots\)，計算
\[u_{ij}^{(k+1)} = \left[ f(x_i, y_j) + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1}^{(k)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1}^{(k)} \right] \Big/ \left[ 2\left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2}\right) \right], \quad i=1,\cdots,m-1, \quad j=1,\cdots,n-1 \]
- \(\text{Gauss-Seidel}\) 迭代法 對 \(k=0,1,2,\cdots\)，計算
\[u_{ij}^{(k+1)} = \left[ f(x_i, y_j) + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1}^{(k+1)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j}^{(k+1)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1}^{(k)} \right] \Big/ \left[ 2\left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2}\right) \right], \quad i=1,\cdots,m-1, \quad j=1,\cdots,n-1 \]
3.2.3 差分格式解的先驗估計式
我們可以應用極值原理來給出差分方程組的解的先驗估計式。
設 \(u = \{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 為 \(\Omega_h\) 上的網格函數，簡記
\[(L_h u)_{ij} = -(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}), \quad (i,j) \in \omega \]
定理 3.2.3
設 \(u = \{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 為 \(\Omega_h\) 上的網格函數，如果我們有如下式子成立
\[(L_h u)_{ij} \leqslant 0, \quad (i,j) \in \omega \]
則我們有
\[\max_{(i,j) \in w} u_{ij} \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} u_{ij} \]
證明：用反證法。設
\[\max_{(i,j) \in w} u_{ij} > \max_{(i,j) \in \gamma} u_{ij} \]
令 \(\max_{(i,j) \in w} u_{ij} = M\)，則一定存在 \((i_0, j_0) \in \omega\) 使得 \(u_{i_0, j_0} = M\)，且 \(u_{i_0 - 1, \,j_0}\)、\(u_{i_0 + 1, \,j_0}\)、\(u_{i_0, \,j_0-1}\)、\(u_{i_0, \,j_0+1}\) 中至少有一個值小於 \(M\)。
因此我們可得
\[\begin{align*} (L_h u)_{i_0, \, j_0} & = 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) u_{i_0, \, j_0} - \frac{1}{h_1^2} \left( u_{i_0 - 1, \,j_0} + u_{i_0 + 1, \,j_0} \right) - \frac{1}{h_2^2} \left( u_{i_0, \,j_0-1} + u_{i_0, \,j_0+1} \right) \\ & > 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) M - \frac{1}{h_1^2} (M + M) - \frac{1}{h_2^2} (M + M) = 0 \end{align*} \]
與條件矛盾。
證畢。
下面利用上述的極值原理給出差分格式解的先驗估計式。
定理 3.2.4
給定差分方程組
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \]
\[u_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \]
設 \(\{u_{ij}\}\) 為上述差分方程組的解，則有
\[\max_{(i,j) \in \omega} | u_{ij} | \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} | \varphi_{ij} | + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j)\in \omega} |f_{ij}| \]
上式中 \(\left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2\) 為 \(\Omega\) 的外接圓半徑的平方。
證明：我們記
\[C = \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
證畢。
3.2.4 差分格式解的存在性與唯一性
定理 3.2.5
差分格式 \((3.2.6) \sim (3.2.7)\) 的解存在且唯一。
證明：由於差分格式 \((3.2.6)\) 與 \((3.2.7)\) 是線性的，考慮其齊次方程組
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = 0, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.15} \]
\[u_{ij} = 0, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.16} \]
設 \(\|u\|_{\infty} = M > 0\)，則由 \((3.2.16)\) 知，存在 \((i,j) \in \omega\) 使得 \(|u_{i_0, \, j_0}| = M\)，且 \(|u_{i_0-1, \, j_0}|\)、\(|u_{i_0+1, \, j_0}|\)、\(|u_{i_0, \, j_0-1}|\)、\(|u_{i_0, \, j_0+1}|\) 中至少有一個小於 \(M\)，考慮式 \((3.2.15)\) 中 \((i,j) = (i_0,j_0)\) 的等式，有
\[\left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) u_{i_0, \, j_0} = \frac{1}{h_1^2} (u_{i_0 - 1, \, j_0} + u_{i_0 + 1, \, j_0}) + \frac{1}{h_2^2} \left( u_{i_0, \, j_0-1} + u_{i_0, \, j_0+1} \right) \]
將上式兩邊取絕對值可得
\[\left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) M \leqslant \frac{1}{h_1^2} ( |u_{i_0 - 1, \, j_0}| + |u_{i_0 + 1, \, j_0}| ) + \frac{1}{h_2^2} \left( |u_{i_0, \, j_0-1}| + |u_{i_0, \, j_0+1}| \right) < \left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) M \]
矛盾。故 \(M=0\)，因而差分格式的解是存在且唯一的。
證畢。
3.2.5 差分格式解的收斂性與穩定性
(1) 收斂性
給出差分格式的收斂性相關的定理。
定理 3.2.6
設 \(\{u(x,y) \, | \, a \leqslant x \leqslant b, \, c \leqslant y \leqslant d\}\) 是定解問題 \((3.1.1)\) 和 \((3.1.2)\) 的解，\(\{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 為差分格式 \((3.2.5)\) 和 \((3.2.6)\) 的解，則有
\[\max_{(i,j) \in \omega} \left| u(x_i, y_j) - u_{ij} \right| \leqslant \frac{M_4}{48} \left[ \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] (h_1^2 + h_2^2) \]
其中 \(M_4\) 由式 \((3.2.8)\) 定義。
證明：我們記
\[e_{ij} = u(x_i, y_j) - u_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \cup \gamma \]
將式 \((3.2.3)\)、\((3.2.4)\) 分別與式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 相減，得誤差方程為
\[-(\delta_x^2 e_{ij} + \delta_y^2 e_{ij}) = R_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.17} \]
\[e_{ij} = 0, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.18} \]
其中 \(R_{ij}\) 由式 \((3.2.5)\) 定義，由式 \((3.2.9)\) 可知，有
\[\max_{(i,j) \in \omega} |R_{ij}| \leqslant \frac{M_4}{12} (h_1^2 + h_2^2) \]
應用定理 \(3.2.4\) 可得
\[\max_{(i,j) \in \omega} |e_{ij}| \leqslant \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |R_{ij}| \leqslant \frac{M_4}{48} \left[ \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] (h_1^2 + h_2^2) \]
證畢。
(2) 穩定性
假設在應用差分格式 \((3.2.6)\) 和 \((3.2.7)\) 時，計算右端函數 \(f(x_i, y_j)\) 有誤差 \(f_{ij}\)，計算邊界值有誤差 \(\varphi_{ij}\)，考慮如下差分格式
\[-(\delta_x^2 v_{ij} + \delta_y^2 v_{ij}) = f(x_i, y_j) + f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.19} \]
\[v_{ij} = \varphi(x_i, y_j) + \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.20} \]
設 \(\{v_{ij}\}\) 為上述差分格式的解，我們記
\[\varepsilon_{ij} = v_{ij} - u_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \cup \gamma \]
將式 \((3.2.19)\)、\((3.2.20)\) 與式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 相減，得到
\[-(\delta_x^2 \varepsilon_{ij} + \delta_y^2 \varepsilon_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.21} \]
\[\varepsilon_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.22} \]
應用定理 \(3.2.4\) 可得
\[\max_{(i,j) \in \omega} |\varepsilon_{ij}| \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} |\varphi_{ij}| + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
由上式可知，當 \(|\varphi_{ij}|\) 和 \(|f_{ij}|\) 是小量時，\(\max_{(i,j) \in \omega} |\varepsilon_{ij}|\) 也為小量。此時我們稱差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 關於邊界值和右端函數是穩定的。
同時我們稱得到的式 \((3.2.21)\)、\((3.2.22)\) 為攝動誤差方程組，可見它的形式與差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 是一樣的，綜合以上，我們可以得到如下定理。
定理 3.2.7
差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 在下述意義下關於邊界值和右端函數是穩定的，設 \(\{u_{ij}\}\) 為
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \]
\[u_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \]
的解，則有
\[\max_{(i,j) \in \omega} |u_{ij}| \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} |\varphi_{ij}| + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
證明：見上段關於攝動誤差方程組的敘述。
證畢。
3.2.6 Richardson 外推法（待定，不知道是否該寫這節）
？？
