3.2 五点差分格式
3.2.1 五点差分格式的建立
(1) 建立差分格式
将区间 \([a,b]\) 做 \(m\) 等分，记
\[h_1 = \frac{b-a}{m}, \quad x_i = a + ih_1, \quad i=0,\cdots,m \]
将区间 \([c,d]\) 做 \(n\) 等分，记
\[h_2 = \frac{d-c}{n}, \quad y_j = c + jh_2, \quad j=0,\cdots,n \]
称 \(h_1\) 为 \(x\) 方向步长，\(h_2\) 为 \(y\) 方向步长。用两簇平行线 \(x = x_i\) 与 \(y=y_j\) 将区域 \(\Omega\) 剖分为 \(mn\) 个小矩形，称两簇直线的交点 \((x_i,y_j)\) 为网格结点。
所有结点构成集合
\[\Omega_h = \{ (x_i, y_j) \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \} \]
所有内结点构成集合
\[\mathring{\Omega}_h = \{ (x_i, y_j) \, | \, 1 \leqslant i \leqslant m-1, \, 1 \leqslant j \leqslant n-1\} \]
所有边界结点构成集合
\[\Gamma_h = \Omega_h \setminus \mathring{\Omega}_h \]
为方便记
\[\omega = \{ (i, j) \, | \, (x_i, y_j) \in \mathring{\Omega}_h\}, \quad \gamma = \{ (i, j) \, | \, (x_i, y_j) \in \Gamma_h\}, \]
记
\[S_h = \left\{ v \, | \, v = \{ v_{ij} \, | \, \forall i, \forall j \} \text{为} \Omega_h \text{上的网格函数}\right\} \]
设 \(v = \{ v_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \} \in S_h\)，引进如下记号：
\[D_x v_{ij} = \frac{1}{h_1} (v_{i+1,j} - v_{ij}), \quad D_{\bar{x}} v_{ij} = \frac{1}{h_1} (v_{ij} - v_{i-1, j}), \]
\[D_y v_{ij} = \frac{1}{h_2} (v_{i,j+1} - v_{ij}), \quad D_{\bar{y}} v_{ij} = \frac{1}{h_2} (v_{ij} - v_{i, j-1}), \]
\[\delta_x^2 v_{ij} = \frac{1}{h_1} (D_x v_{ij} - D_{\bar{x}} v_{ij}), \quad \delta_y^2 v_{ij} = \frac{1}{h^2} (D_y v_{ij} - D_{\bar{y}} v_{ij}) \]
\[\| v \|_{\infty} = \max_{\forall i,j} |v_{ij}| \]
在结点处考虑边值问题 \((3.1.1)\)，\((3.1.2)\) 有
\[- \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x_i, y_j) + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (x_i, y_j) \right] = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.1} \]
\[u(x_i, y_j) = \varphi(x_i, y_j), \quad (i, j) \in \gamma \tag{3.2.2} \]
定义 \(\Omega_h\) 上的网格函数
\[U = \{U_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m , \, 0 \leqslant j \leqslant n \}, \quad U_{ij} = u(x_i, y_j) \]
二阶导数用二阶中心差商来近似，由 引理 \(2.2.1\) 可知
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x_i, y_j) = \frac{1}{h_1^2} \left[ u(x_{i-1}, y_j) - 2 u(x_{i}, y_j) + u(x_{i+1}, y_j)\right] - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) = \delta_x^2 U_{ij} - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j), \quad x_{i-1} < \xi_{ij} < x_{i+1} \]
\[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} (x_i, y_j) = \frac{1}{h_2^2} \left[ u(x_{i}, y_{j-1}) - 2 u(x_{i}, y_j) + u(x_{i}, y_{j+1})\right] - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}) =\delta_y^2 U_{ij} - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}), \quad y_{j-1} < \eta_{ij} < y_{j+1} \]
代入式 \((3.2.1)\)，可得
\[-(\delta_x^2 U_{ij} + \delta_y^2 U_{ij}) = f(x_i, y_j) - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}), \quad (i, j) \in \omega \tag{3.2.3} \]
\[U_{ij} = \varphi(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.4} \]
在上式中略去小量项
\[R_{ij} = - \frac{h_1^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}(\xi_{ij}, y_j) - \frac{h_2^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}(x_i, \eta_{ij}) \tag{3.2.5} \]
用 \(u_{ij}\) 代替 \(U_{ij}\) 得到如下差分格式
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.6} \]
\[u_{ij} = \varphi(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.7} \]
(2) 局部截断误差
称 \(R_{ij}\) 为差分格式 \((3.2.5)\) 的局部截断误差，它表示为差分格式 \((3.2.5)\) 用精确解代替近似解后等式两边之差，即
\[R_{ij} = -\frac{1}{h_1^2} [u(x_{i-1}, y_j) - 2 u(x_i, y_j) + u(x_{i+1}, y_j)] -\frac{1}{h_2^2} [u(x_{i}, y_{j-1}) - 2 u(x_i, y_j) + u(x_{i}, y_{j+1})] - f(x_i, y_j) \]
记
\[M_4 = \max \left\{ \max_{(x,y) \in \bar{\Omega}} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} (x,y) \right|, \max_{(x,y) \in \bar{\Omega}} \left| \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} (x,y) \right| \right\} \tag{3.2.8} \]
则有
\[|R_{ij}| \leqslant \frac{(h_1^2 + h_2^2)}{12} M_4, \quad 1 \leqslant i \leqslant m-1, \quad 1 \leqslant j \leqslant n-1 \tag{3.2.9} \]
局部截断误差可以反映差分格式对原方程的近似程度，由上式显然可知当 \(M_4 < \infty\) 时，差分格式 \((3.2.5)\) 与微分方程 \((3.1.1)\) 是相容的。
3.2.2 差分格式的求解
差分格式 \((3.2.6)\)，\((3.2.7)\) 是以 \((u_{ij})\) 可视为未知量的线性方程组，式 \((3.2.6)\) 可改写为
\[-\frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1} - \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j} + 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) u_{ij} - \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j} - \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1} = f(x_i, y_j), \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.10} \]
我们考虑将原始的差分格式写成两种形式：线性方程组与矩阵方程。
(1) 线性方程组形式
记
\[\begin{align*} \bm{u}_j = \begin{bmatrix} u_{1j} \\ u_{2j} \\ \vdots \\ u_{m-1,j} \end{bmatrix}, \quad 0 \leqslant j \leqslant n \end{align*} \]
利用式 \((3.2.7)\) 可将式 \((3.2.10)\) 改写为
\[D \bm{u}_{j-1} + C \bm{u}_j + D \bm{u}_{j+1} = \bm{f}_j, \quad 1 \leqslant j \leqslant n-1 \tag{3.2.11} \]
其中，
\[\begin{align*} C = \begin{bmatrix} 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) & -\frac{1}{h_1^2} \\ & & & -\frac{1}{h_1^2} & 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} D = \begin{bmatrix} -\frac{1}{h_2^2} \\ & -\frac{1}{h_2^2} \\ & & \ddots \\ & & & -\frac{1}{h_2^2} \\ & & & &-\frac{1}{h_2^2} \end{bmatrix}, \quad \bm{f}_j = \begin{bmatrix} f(x_1, y_j) + \frac{1}{h_1^2} \varphi(x_0, y_j) \\ f(x_2, y_j) \\ \vdots \\ f(x_{m-2}, y_j) \\ f(x_{m-1}, y_j) + \frac{1}{h_1^2} \varphi(x_m, y_j) \end{bmatrix} \end{align*} \]
将式 \((3.2.11)\) 进一步改写成
\[\begin{align*} \begin{bmatrix} C & D \\ D & C & D \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & D & C & D \\ & & & D & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{u}_1 \\ \bm{u}_2 \\ \vdots \\ \bm{u}_{n-2} \\ \bm{u}_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{f}_1 - D \bm{u}_0 \\ \bm{f}_2 \\ \vdots \\ \bm{f}_{n-2} \\ \bm{f}_{n-1} - D \bm{u}_n \end{bmatrix} \end{align*} \tag{3.2.12} \]
上述线性方程组的系数矩阵是一个三对角块矩阵，每一行至多有 \(5\) 个非零元素，通常称这种绝大多数元素为 \(0\) 的矩阵为稀疏矩阵。常用迭代法求解以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组。
(2) 矩阵方程形式
可以将式 \((3.2.6)\) 写成
\[\begin{align*} \frac{1}{h_1^2} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{i-1,j} \\ u_{ij} \\ u_{i+1, j} \end{bmatrix} + \frac{1}{h_2^2} \begin{bmatrix} u_{i,j-1} & u_{ij} & u_{i, j+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \end{align*} = f(x_i, y_j) \]
进一步写成
\[\frac{1}{h_1^2} A_{m-1} X + \frac{1}{h_2^2} X A_{n-1} = f + \frac{1}{h_1^2} u_{ub} + \frac{1}{h_2^2} u_{lr} \tag{3.2.13} \]
其中，
\[\begin{align*} A_k = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 \end{bmatrix}_{k \times k} \quad X = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1,n-1} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2,n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{m-1,1} & u_{m-1,2} & \cdots & u_{m-1,n-1} \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} u_{lr} = \begin{bmatrix} u_{10} & 0 & \cdots & 0 & u_{1,n} \\ u_{20} & 0 & \cdots & 0 & u_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ u_{m-1,0} & 0 & \cdots & 0 & u_{m-1,n} \end{bmatrix}, \quad u_{ub} = \begin{bmatrix} u_{01} & u_{02} & \cdots & u_{0,n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ u_{m1} & u_{m2} & \cdots & u_{m,n-1} \end{bmatrix} \end{align*} \]
\[\begin{align*} f = \begin{bmatrix} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1,n-1} \\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2,n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m-1,1} & f_{m-1,2} & \cdots & f_{m-1,n-1} \end{bmatrix}, \quad f_{ij} = f(x_i, y_j) \end{align*} \]
式 \((3.2.13)\) 可写成矩阵方程形式
\[AX + XB = C \tag{3.2.14} \]
\[A = \frac{1}{h_1^2} A_{m-1}, \quad B = \frac{1}{h_2^2} A_{n-1}, \quad C = f + \frac{1}{h_1^2} u_{ub} + \frac{1}{h_2^2} u_{lr} \]
(3) 性质
记式 \((3.2.12)\) 的系数矩阵为 \(G\)，即
\[\begin{align*} G = \begin{bmatrix} C & D \\ D & C & D \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & D & C & D \\ & & & D & C \end{bmatrix} \end{align*} \]
我们可以发现，线性方程组与矩阵方程是等价的，它们之间具体的关系可用下述定理描述。
定理 3.2.1
对式 \((3.2.11)\) 有
\[AX + XB = C \iff \left[ \text{Kron} (I, A) + \text{Kron} (B^T, I) \right] \text{vec}(X) = \text{vec}(C) \]
其中第一个单位矩阵的阶数等于矩阵 \(X\) 的列数；第二个单位矩阵的阶数等于矩阵 \(X\) 的行数。\(\text{vec}\) 表示将矩阵用列拉直的方式变为列向量。\(\text{Kron}\) 为两矩阵的 \(\text{kronecker}\) 积。
表示为线性方程组时，可以发现系数矩阵不仅是一个稀疏矩阵，还具有良好的代数性质。
定理 3.2.2
式 \((3.2.9)\) 的系数矩阵 \(G\) 为对称正定矩阵。
证明：系数矩阵 \(G\) 显然是一个对称矩阵。只需再证明该矩阵正定。
证毕。
(4) 求解的数值算法
由 \((3.2.9)\) 的线性方程组形式可以看出，该线性方程组的系数矩阵是一个三对角块矩阵，每一行至多有 \(5\) 个非零元素，通常称这种绝大多数元素为零的矩阵为稀疏矩阵。常用迭代法求解以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组。
- \(\text{Jacobi}\) 迭代法 对 \(k=0,1,2,\cdots\)，计算
\[u_{ij}^{(k+1)} = \left[ f(x_i, y_j) + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1}^{(k)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1}^{(k)} \right] \Big/ \left[ 2\left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2}\right) \right], \quad i=1,\cdots,m-1, \quad j=1,\cdots,n-1 \]
- \(\text{Gauss-Seidel}\) 迭代法 对 \(k=0,1,2,\cdots\)，计算
\[u_{ij}^{(k+1)} = \left[ f(x_i, y_j) + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j-1}^{(k+1)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i-1, j}^{(k+1)} + \frac{1}{h_1^2} u_{i+1, j}^{(k)} + \frac{1}{h_2^2} u_{i, j+1}^{(k)} \right] \Big/ \left[ 2\left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2}\right) \right], \quad i=1,\cdots,m-1, \quad j=1,\cdots,n-1 \]
3.2.3 差分格式解的先验估计式
我们可以应用极值原理来给出差分方程组的解的先验估计式。
设 \(u = \{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 为 \(\Omega_h\) 上的网格函数，简记
\[(L_h u)_{ij} = -(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}), \quad (i,j) \in \omega \]
定理 3.2.3
设 \(u = \{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 为 \(\Omega_h\) 上的网格函数，如果我们有如下式子成立
\[(L_h u)_{ij} \leqslant 0, \quad (i,j) \in \omega \]
则我们有
\[\max_{(i,j) \in w} u_{ij} \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} u_{ij} \]
证明：用反证法。设
\[\max_{(i,j) \in w} u_{ij} > \max_{(i,j) \in \gamma} u_{ij} \]
令 \(\max_{(i,j) \in w} u_{ij} = M\)，则一定存在 \((i_0, j_0) \in \omega\) 使得 \(u_{i_0, j_0} = M\)，且 \(u_{i_0 - 1, \,j_0}\)、\(u_{i_0 + 1, \,j_0}\)、\(u_{i_0, \,j_0-1}\)、\(u_{i_0, \,j_0+1}\) 中至少有一个值小于 \(M\)。
因此我们可得
\[\begin{align*} (L_h u)_{i_0, \, j_0} & = 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) u_{i_0, \, j_0} - \frac{1}{h_1^2} \left( u_{i_0 - 1, \,j_0} + u_{i_0 + 1, \,j_0} \right) - \frac{1}{h_2^2} \left( u_{i_0, \,j_0-1} + u_{i_0, \,j_0+1} \right) \\ & > 2 \left( \frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} \right) M - \frac{1}{h_1^2} (M + M) - \frac{1}{h_2^2} (M + M) = 0 \end{align*} \]
与条件矛盾。
证毕。
下面利用上述的极值原理给出差分格式解的先验估计式。
定理 3.2.4
给定差分方程组
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \]
\[u_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \]
设 \(\{u_{ij}\}\) 为上述差分方程组的解，则有
\[\max_{(i,j) \in \omega} | u_{ij} | \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} | \varphi_{ij} | + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j)\in \omega} |f_{ij}| \]
上式中 \(\left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2\) 为 \(\Omega\) 的外接圆半径的平方。
证明：我们记
\[C = \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
证毕。
3.2.4 差分格式解的存在性与唯一性
定理 3.2.5
差分格式 \((3.2.6) \sim (3.2.7)\) 的解存在且唯一。
证明：由于差分格式 \((3.2.6)\) 与 \((3.2.7)\) 是线性的，考虑其齐次方程组
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = 0, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.15} \]
\[u_{ij} = 0, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.16} \]
设 \(\|u\|_{\infty} = M > 0\)，则由 \((3.2.16)\) 知，存在 \((i,j) \in \omega\) 使得 \(|u_{i_0, \, j_0}| = M\)，且 \(|u_{i_0-1, \, j_0}|\)、\(|u_{i_0+1, \, j_0}|\)、\(|u_{i_0, \, j_0-1}|\)、\(|u_{i_0, \, j_0+1}|\) 中至少有一个小于 \(M\)，考虑式 \((3.2.15)\) 中 \((i,j) = (i_0,j_0)\) 的等式，有
\[\left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) u_{i_0, \, j_0} = \frac{1}{h_1^2} (u_{i_0 - 1, \, j_0} + u_{i_0 + 1, \, j_0}) + \frac{1}{h_2^2} \left( u_{i_0, \, j_0-1} + u_{i_0, \, j_0+1} \right) \]
将上式两边取绝对值可得
\[\left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) M \leqslant \frac{1}{h_1^2} ( |u_{i_0 - 1, \, j_0}| + |u_{i_0 + 1, \, j_0}| ) + \frac{1}{h_2^2} \left( |u_{i_0, \, j_0-1}| + |u_{i_0, \, j_0+1}| \right) < \left( \frac{2}{h_1^2} + \frac{2}{h_2^2} \right) M \]
矛盾。故 \(M=0\)，因而差分格式的解是存在且唯一的。
证毕。
3.2.5 差分格式解的收敛性与稳定性
(1) 收敛性
给出差分格式的收敛性相关的定理。
定理 3.2.6
设 \(\{u(x,y) \, | \, a \leqslant x \leqslant b, \, c \leqslant y \leqslant d\}\) 是定解问题 \((3.1.1)\) 和 \((3.1.2)\) 的解，\(\{u_{ij} \, | \, 0 \leqslant i \leqslant m, \, 0 \leqslant j \leqslant n\}\) 为差分格式 \((3.2.5)\) 和 \((3.2.6)\) 的解，则有
\[\max_{(i,j) \in \omega} \left| u(x_i, y_j) - u_{ij} \right| \leqslant \frac{M_4}{48} \left[ \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] (h_1^2 + h_2^2) \]
其中 \(M_4\) 由式 \((3.2.8)\) 定义。
证明：我们记
\[e_{ij} = u(x_i, y_j) - u_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \cup \gamma \]
将式 \((3.2.3)\)、\((3.2.4)\) 分别与式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 相减，得误差方程为
\[-(\delta_x^2 e_{ij} + \delta_y^2 e_{ij}) = R_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.17} \]
\[e_{ij} = 0, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.18} \]
其中 \(R_{ij}\) 由式 \((3.2.5)\) 定义，由式 \((3.2.9)\) 可知，有
\[\max_{(i,j) \in \omega} |R_{ij}| \leqslant \frac{M_4}{12} (h_1^2 + h_2^2) \]
应用定理 \(3.2.4\) 可得
\[\max_{(i,j) \in \omega} |e_{ij}| \leqslant \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |R_{ij}| \leqslant \frac{M_4}{48} \left[ \left( \frac{b-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] (h_1^2 + h_2^2) \]
证毕。
(2) 稳定性
假设在应用差分格式 \((3.2.6)\) 和 \((3.2.7)\) 时，计算右端函数 \(f(x_i, y_j)\) 有误差 \(f_{ij}\)，计算边界值有误差 \(\varphi_{ij}\)，考虑如下差分格式
\[-(\delta_x^2 v_{ij} + \delta_y^2 v_{ij}) = f(x_i, y_j) + f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.19} \]
\[v_{ij} = \varphi(x_i, y_j) + \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.20} \]
设 \(\{v_{ij}\}\) 为上述差分格式的解，我们记
\[\varepsilon_{ij} = v_{ij} - u_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \cup \gamma \]
将式 \((3.2.19)\)、\((3.2.20)\) 与式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 相减，得到
\[-(\delta_x^2 \varepsilon_{ij} + \delta_y^2 \varepsilon_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \tag{3.2.21} \]
\[\varepsilon_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \tag{3.2.22} \]
应用定理 \(3.2.4\) 可得
\[\max_{(i,j) \in \omega} |\varepsilon_{ij}| \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} |\varphi_{ij}| + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
由上式可知，当 \(|\varphi_{ij}|\) 和 \(|f_{ij}|\) 是小量时，\(\max_{(i,j) \in \omega} |\varepsilon_{ij}|\) 也为小量。此时我们称差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 关于边界值和右端函数是稳定的。
同时我们称得到的式 \((3.2.21)\)、\((3.2.22)\) 为摄动误差方程组，可见它的形式与差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 是一样的，综合以上，我们可以得到如下定理。
定理 3.2.7
差分格式 \((3.2.6)\)、\((3.2.7)\) 在下述意义下关于边界值和右端函数是稳定的，设 \(\{u_{ij}\}\) 为
\[-(\delta_x^2 u_{ij} + \delta_y^2 u_{ij}) = f_{ij}, \quad (i,j) \in \omega \]
\[u_{ij} = \varphi_{ij}, \quad (i,j) \in \gamma \]
的解，则有
\[\max_{(i,j) \in \omega} |u_{ij}| \leqslant \max_{(i,j) \in \gamma} |\varphi_{ij}| + \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{b-a}{2}\right)^2 + \left( \frac{d-c}{2} \right)^2 \right] \max_{(i,j) \in \omega} |f_{ij}| \]
证明：见上段关于摄动误差方程组的叙述。
证毕。
3.2.6 Richardson 外推法（待定，不知道是否该写这节）
？？
