[數學]高數部分-Part V 多元函數微分學

Part V 多元函數微分學

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• Part V 多元函數微分學
  • 多元函數微分的極限定義
  • 多元函數微分的連續性
  • 多元函數微分的偏導數 z=f(x, y)
  • 多元函數微分-鏈式求導規則
  • 多元函數-高階偏導數
  • 多元函數-無條件極值-必要條件
  • 多元函數-無條件極值-充分條件
  • 多元函數-條件極值-求法

多元函數微分的極限定義

\(設f(x,y)的定義域為D,P_0(x_0,y_0)是D的聚點(=內點+邊界點), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,當P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )時，恆有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)

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多元函數微分的連續性

\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),則稱f(x,y)在（x_0,y_0）處連續\)
\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不連續，不討論間斷類型\)

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多元函數微分的偏導數 z=f(x, y)

1. \(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)
2. \(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)

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多元函數微分-鏈式求導規則

\(設z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。稱x,y叫做自變量，u,v,w叫做中間變量,z叫因變量.\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)

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多元函數-高階偏導數

\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)

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多元函數-無條件極值-必要條件

\(設z=f(x,y)在點(x_0, y_0)處\begin{cases} 一階偏導數存在\\ 取極值 \end{cases} ，則{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\)
【注】適用於三元及以上(常考2-5元)

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多元函數-無條件極值-充分條件

\[\begin{cases} {f}''\_{xx}(x\_0,y\_0)=A \\ {f}''\_{xy}(x\_0,y\_0)=B \\ {f}''\_{yy}(x\_0,y\_0)=C \end{cases} \Rightarrow \triangle=B^2-AC \begin{cases} <0 \begin{cases} A>0 \Rightarrow 極小值點 \\ A<0 \Rightarrow 極大值點 \end{cases} \\ >0 \Rightarrow 不是極值點 \\ =0 \Rightarrow 該法失效，另謀它法（概念題) \end{cases} \]

• Note：只適用於二元

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多元函數-條件極值-求法

1. 提法：\(求目標函數u=f(x,y,z)在約束條件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的極值\)
2. 拉氏乘數法：
   1. \(構造輔助函數F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)
   2. \(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)
   3. \(解方程組 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比較 \Rightarrow取最大、最小者為最大值，最小值\)

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