Part VI 重積分
二重積分的普通對稱性
- \(設D關於y軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
- \(設D關於x軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
二重積分的輪換對稱性（直角坐標系下）
輪換對稱性：
\(若將D中的x與y對調，可推出D不變，則：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即為輪換對稱性\)
二重積分直角坐標系下的積分方法
\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)
- \(X型區域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
后積先定限，限內畫條線，先交下曲線，后交上曲線 - \(Y型區域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)
二重積分極坐標系下的積分方法
\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)
二重積分中值定理
\(f(x,y)在有界閉區域D上連續，\sigma_{0}是D的面積，則在D內至少存在一點(\xi,\mu)，使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)