Part II 導數與微分
一元函數微分的定義
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 記為{f}'(x_{0})\)
一元函數定義注意點
- 左右有別
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右導數\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左導數\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 廣義化狗
- \(\triangle x \rightarrow (廣義化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一靜一動
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型錯誤\)
- 換元法
- \(換元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求導公式
-
\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
-
\({(a^x)}'=a^xlna\)
-
\({(e^x)}'=e^x\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^2x\)
-
\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
-
\({(secx)}'=-secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求導方法
復合函數求導、隱函數求導、對數求導法、反函數求導、參數方程求導
復合函數求導
復合函數一層層分層求導，冪指函數化為復合指數函數
隱函數求導
顯函數：y=f(x),隱函數F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0兩遍同時對x求導，只需注意y=y(x)即可(復合求導)
對數求導法
對多項目相乘、相除、開方乘方得來的式子，先取對數再求導，稱為對數求導。
反函數求導
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
參數方程求導
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t為參數\)
顯函數
解析式中明顯地用一個變量的代數式表示另一個變量時，稱為顯函數。
一個函數如果能用形如 的解析式表示，其中 分別是函數的自變量與因變量，則此函數稱為顯函數，如 等都是顯函數。
隱函數
隱函數（implicit function）是由隱式方程所隱含定義的函數，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)確定的函數。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數，也就是通常所說的函數，如\(y=\cos(x)\)。