Part I 極限與連續
一、極限
泰勒公式
任何可導函數 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)時
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等價無窮小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函數極限定義
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 當 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 時，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
數列極限數列極限
n為自然數， n→\(\infty\),專指n→+\(\infty\),而略去"+"不寫
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 當 n>N時，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
極限的性質
唯一性、局部有限性、局部保號性
極限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則A唯一\)
極限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則 \exists M>0, \delta>0,當0<|x-x_{0}|<\delta時,恆有|f(x)|< M $
極限的局部保號性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)<0\)
函數極限計算三板斧
-
等價無窮小，泰勒公式，洛必達法則。
-
這個順序來源於楊超。
七種不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必達法則
-
若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0, \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\),
則\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\) -
隱含條件：f(x), g(x)都為無窮小量，都可導，導函數比值的極限存在
數列極限運算法則
- 若\(x_{n}\)易於連續化，轉化為函數極限計算
依據：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 則\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易於連續化，用“夾逼准則”（或定積分定義）
- 若\(x_{n}\)由遞推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 給出，用“單調有界准則”
\(給出 x_{n},若 x_{n} 單增且有上界或者單減且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收斂\)
二、連續與間斷
夾逼准則
它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。
設\(I\)為包含某點\(a\)的區間，\(f,g,h\)為定義在\(I\)上的函數。若對於所有屬於\(I\)而不等於\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；則\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分別稱為\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於\(x \to \infty\)，這個定理還是可用的。
極限的連續與間斷的基本常識
任何初等函數在其定義區間內連續（只要見到的函數都是初等函數），故考研中只研究兩類特殊的點：
-
分段函數的分段點（可能間斷）
-
無定義點（必然間斷）
連續的定義
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 則f(x)稱在x=x_{0}處連續\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才連續\)
有界性定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，其中m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，則\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零點定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當f(a) \cdot f(b)<0時，則\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
間斷的定義
- \(設f(x)在 x=x_{0}點的某去心領域有定義\)
- 1⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️ \(f(x)\)
-
第一類間斷點 1⃣️ 2⃣️ 均存在，且
- 1⃣️\(\neq\) 2⃣️: \(x_{0}\)為跳躍間斷點
- 1⃣️ = 2⃣️ \(\neq\) 3⃣️: \(x_{0}\)為可去間斷點
-
第二類間斷點 1⃣️ 2⃣️ 至少一個不存在（目前為止考研只考了 1⃣️ 2⃣️均不存在）
- 若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)無窮間斷點
- 若不存在 = 震盪 \(\Rightarrow\) 震盪間斷點
【Note】
- 單側定義不討論間斷性
- 若出現左右一邊是震盪間斷，一邊是無窮間斷，則我們應該分側討論