Part IV 一元函數積分學
不定積分定義
\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，則稱F(x)在f(x)在I上的一個原函數。全體原函數就叫不定積分，記成：\int f(x)dx=F(x)+C\)
定積分定義
\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)
不定積分與定積分的幾何意義
\(\int f(x)dx為函數族，\int_{a}^{b} f(x)dx 為面積代表值\)
牛頓-萊布尼茲公式 / N-L 公式
\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)
基本積分公式
\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)
\( k\neq1 \begin{cases} \int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases} \)
\(\int \frac{1}{x}dx = ln|x|+C\)
\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int sinxdx=-cosx+C\)
\(\int cosxdx=sinx+C\)
\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)
\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)
\(\int secxdx=ln|secx + tanx|+C\)
\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)
\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)
\(\int secxtanxdx=secx+C\)
\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)
\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)
\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)
\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)
點火公式(華里士公式)
- $ I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}sinnxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}cosnxdx=\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n為正整數 \
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n為大於1的正奇數
\end{cases}$ - 偶數時點火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇數時點火失敗以 1 停止
積分-換元法的三板斧
- 當湊微分法不成功時，考慮換元，從而使題目從復雜變簡單
-
三角換元
- \(三角換元--當被積函數f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)
- \(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=atant,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=asect,\begin{cases}x>0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)
- Note：\(若見到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化為\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角換元\)
-
倒帶換
\((x=\frac{1}{t})---可用於分子次數明顯低於分母次數的情況\) -
復雜部分換元——令復雜部分=t
\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代換)\\ a^x,e^x=t，(指數代換) \\ lnx=t，(對數代換)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函數代換)\end{cases}\)
分部積分法
\(\int udv=uv- \int vdu (前面的積分困難，后面的積分簡單)\)
反對冪指三，排前面的求導，排后面的積分
有理函數積分法
- 定義:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n<m)的積分\)
- \(將\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最簡有理分式之和\)
- 拆分原則
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\) - \(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
積分中值定理
\(若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x) = f(\xi)(b-a)\)
\(若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，g(x)在閉區間[a,b]上不變號且可積，則\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x)g(x) = f(\xi)\int_a^bg(x)\)
定積分的計算
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)
- 先按四大積分法求出F(x)
- 帶入上下限，要注意換元時的細節：
\(對於\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 連續，且x=\phi(t)不超過區間[a,b]\)
用積分表達和計算平面圖形的面積
\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所圍成的平面圖形的面積：\)
\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)
用積分表達和計算旋轉體的體積
- \(y=y(x)與x=a,x=b, (a < b ) 及x軸所圍圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)
- \(y=y(x)與x=a,x=b,( a < b ) 及x軸所圍圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱殼法)\)
用積分表達和計算函數的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是
\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)