參考解答見: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
4.1.1 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續, 且 $f(x)>0$, 求極限 $\vlm{n}\sqrt[n]{f\sex{\f{1}{n}}f\sex{\f{2}{n}}\cdots f\sex{\f{n-1}{n}}f(1)}$.
4.1.2 考慮積分 $\dps{\int_0^1 (1-x)^n\rd x}$, 證明 $$\bex C_n^0-\f{1}{2} C_n^1+\f{1}{3}C_n^2-\cdots+\f{(-1)^n}{n+1}C_n^n =\f{1}{n+1}. \eex$$
4.1.3 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 而且對任何 $x\in (0,1)$ 有 $|f'(x)|\leq M$. 求證: 對任何正整數 $n$ 有 $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x-\f{1}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{\f{i}{n}}\leq \f{M}{n}}$, 其中 $M$ 是一個與 $x$ 無關的常數. (南開大學)
4.1.4 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, $g(x)$ 是以 $T$ 為周期的函數, 且在 $[0,T]$ 上可積. 試證: $$\bex \vlm{n}\int_a^b f(x)g(\lm x)\rd x=\f{1}{T}\int_0^T g(x)\rd x\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$
4.1.5 設 $s(x)=4[x]-2[2x]+1$ 其中 $[x]$ 代表數 $x$ 的整數部分 (即不超過 $x$ 的整數之最大值), $n$ 代表自然數, $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可積. 證明 $$\bex \vlm{n}\int_0^1 f(x)s(nx)\rd x=0.\qwz{蘭州大學} \eex$$
4.1.6 設 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上可積, $f_0(x)>0$. $$\bex f_n(x)=\sqrt{\int_0^x f_{n-1}(t)\rd t},\ n=1,2,\cdots. \eex$$ 試求 $\dps{\vlm{n}f_n(x),\ (x\in [0,1])}$.
4.1.7 設 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(x)>0$, $g(x)>0$. 求 $\dps{\vlm{p}\sex{\int_a^b g(x)f^p(x)\rd x}^\f{1}{p^2}}$.
4.1.8 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二次可微, 且 $f''(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, 記 $$\bex B_n=\int_a^b f(x)\rd x-\f{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\sex{a+(2i-1)\f{b-a}{2n}}. \eex$$ 試證: $\dps{\vlm{n}n^2B_n=\f{(b-a)^2}{24}[f'(b)-f'(a)]}$.
4.1.9 設 $$\bex A_n=\f{1}{n+1}+\f{1}{n+2}+\cdots+\f{1}{2n},\quad B_n=\f{2}{2n+1}+\f{2}{2n+3}+\cdots+\f{2}{4n-1}. \eex$$ 試證: $$\bex \vlm{n}n[\ln 2-A_n]=\f{1}{4},\quad \vlm{n}n^2[\ln 2-B_n]=\f{1}{32}. \eex$$
4.1.10 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, 記 $\dps{f_{in}=f\sex{a+i\f{b-a}{n}}}$. 試利用不等式 $$\bex |\ln(1+x)-x|\leq 2x,\ \sex{|x|<\f{1}{2}} \eex$$ 證明 $\dps{\vlm{n}\sex{1+f_{1n}\f{b-a}{n}} \sex{1+f_{2n}\f{b-a}{n}}\cdots \sex{1+f_{nn}\f{b-a}{n}}=\e^{\int_0^1 f(x)\rd x}}$.
4.1.11 設 $f(x)$ 是在 $[-1,1]$ 上可積在 $x=0$ 處連續的函數, 記 $\dps{\varphi_n(x)=\seddm{ (1-x)^n,&0\leq x\leq 1,\\ \e^{nx},&-1\leq x\leq 0. }}$ 證明: $\dps{\vlm{n}\f{n}{2}\int_0^1 f(x)\varphi_n(x)\rd x=f(0)}$. (浙江大學)
4.1.11 設 $\dps{f(x)=\int_x^{x^2} \sex{1+\f{1}{2t}}^t \sin\f{1}{\sqrt{t}}\rd t\ (x>0)}$. 求 $\dps{\vlm{n}f(n)\sin \f{1}{n}}$. (福建師范大學)
4.2.1 設函數 $f(u)$ 在區間 $[A,B]$ 上連續, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, 當 $x\in [a,b]$ 時, $A\leq g(x)\leq B$. 試用各種不同的方法證明 $f[g(x)]$ 在 $[a,b]$ 上可積.
4.2.2 試用多種方法證明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可積, 設 (1) $\dps{f(x)=\sgn\sex{\sin\f{\pi}{x}}}$; (2) $\dps{f(x)=\seddm{ \f{1}{x}-\sez{\f{1}{x}},&x\neq 0\\ 0,&x=0 }}$.
4.2.3 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, 試證 $\max\sed{f(x),g(x)}$ 及 $\min\sed{f(x),g(x)}$ 在 $[a,b]$ 上亦可積.
4.2.4 試用定理 3 重新證明 Riemann 函數在 $[0,1]$ 上可積.
4.2.5 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, $[f(x)]$ 表示 $f(x)$ 的值取整數部分. 試問 $[f(x)]$ 在 $[a,b]$ 上是否一定可積.
4.2.6 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可積, 試證: 對於 $[a,b]$ 上任一可積函數 $g(x)$, 恆有 $\dps{\int_a^b f(x)g(x)\rd x=0}$, 則函數 $f(x)$ 在連續點上恆為零.
4.2.7 設在 $[-1,1]$ 上的連續函數 $f(x)$ 滿足如下條件: 對 $[-1,1]$ 上的任意的偶連續函數 $g(x)$, 積分 $\dps{\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x=0}$. 試證: $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的奇函數. (武漢大學)
4.3.1 證明: (1) $\dps{\sqrt{2}\e^{-\frac{1}{2}}<\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \e^{-x^2}\rd x<\sqrt{2}}$; (2) $\dps{0<\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x}{x}\rd x<\frac{\pi^3}{144}}$; (3) $\dps{\frac{2}{9}\pi^2\leq \int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2}\frac{2x}{\sin x}\rd x\leq \frac{4}{9}\pi^2}$.
4.3.2 證明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 時, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$.
4.3.3 求證: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 為正整數) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超過 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$. (西北大學)
4.3.4 把滿足下述條件 (1) 和 (2) 的實函數 $f$ 的全體記作 $F$: (1) $f(x)$ 在閉區間 $[0,1]$ 上連續, 並且非負; (2) $f(0)=0$, $f(1)=1$. 試證明: $\dps{\inf_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0}$, 但不存在 $\varphi\in F$, 使 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$. (廈門大學)
4.3.5 若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上連續, 且 $f'(x)\geq 0$, 則對任意正整數 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}. \eex$$ (東北師范大學)
4.3.6 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導, $f'(x)\searrow$, $|f'(x)|\geq m>0$, 試證: $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{m}. \eex$$
4.3.7 $f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 證明至少存在點 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x. \eex$$
4.3.8 將條件 $f(x)\neq 0$ 換為 $f''(x)<0$, 重新證明例 4.3.5.
4.3.9 證明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t<\frac{\pi^2n^2}{4}}$.
4.3.10 對自然數 $n\geq 2$, 證明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t<\frac{2+\ln n}{2}. \eex$$
4.3.11 函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, 並且對於任何區間 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al<\beta\leq b$), 不等式 $$\bex \sev{\int_\al^\beta f(x)\rd x}\leq M|\beta-\al|^{1+\delta}\quad (M,\delta\mbox{ 是正常數}) \eex$$ 成立. 證明: 在 $[a,b]$ 上, $f(x)\equiv 0$. (國外賽題)
4.3.12 證明: 若 $f(x)$ 為 $[0,1]$ 上的連續函數, 且對一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 則 $f(x)\equiv 0$. (上海師范大學)
4.3.13 證明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的連續函數 $f(x)$ 滿足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函數.
4.3.14 設 $f(x)$ 處處連續, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 為任何正數. 證明: (1) $F(x)$ 對任何 $x$ 有連續導數; (2) 在任意閉區間 $[a,b]$ 上, 當 $\delta$ 足夠小時, 可使 $F(x)$ 與 $f(x)$ 一致逼近 (即任給 $\ve>0$, 對一切 $x\in [a,b]$ 均有 $|F(x)-f(x)|<\ve$). (華東師范大學)
4.3.15 $[a,b]$ 上的連續函數列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 滿足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$. 證明: 存在自然數 $N$ 及定數 $c_1,c_2,\cdots,c_N$ 使 $\dps{\sum_{k=1}^N c_k^2=1}$, $\dps{\max_{x\in [a,b]} \sev{\sum_{k=1}^n c_k\varphi_k(x)}>100}$. (揚州師范學院)
4.3.16 按牛頓二項式展開及代換 $x=\sin t$ 兩種方法計算積分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 為正整數). 並由此說明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. \eex$$
4.3.17 設在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 內連續函數 $f(x)>0$, 且滿足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t. \eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函數表達式. (復旦大學)
4.3.18 設 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1}$, 試求正常數 $a$ 與 $b$. (華中師范大學)
4.3.19 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$. (中國科學技術大學)
4.3.20 設 $a>0$, 函數 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上連續可微, 證明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x. \eex$$ (華中師范大學)
4.3.21 設 $f(x)$ 的一階導數在 $[0,1]$ 上連續, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求證: $\dps{\sev{\int_0^1 f(x)\rd x}\leq \frac{1}{4}\max_{0\leq x\leq 1}|f'(x)|}$. (清華大學)
4.3.22 設 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上連續), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 證明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$. (北京大學)
4.3.23 設函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 試證: (1) $F'(x)\geq 2$; (2) $F(x)=0$ 在 $[a,b]$ 中有且僅有一個實根. (華中師范大學)
4.3.24 設 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求證: $x>0$ 時, $\dps{|f(x)|<\frac{1}{x}}$. (北京工業大學)
4.3.25 設 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內連續, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$$ 試證 $f(x)$ 為線性函數.
4.3.26 設 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函數, $f'(x)$ 有界. 求證: $$\bex a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x\geq 0;\quad a_{2n+1}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos (2n+1)x\rd x\leq 0. \eex$$
4.3.27 設 $f(x)$ 是 $[0,2\pi]$ 上的凸函數, $f'(x)$ 有界. 求證: $$\bex a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx\rd x\geq 0. \eex$$
4.3.28 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續. 試證: $f(x)$ 為凸的充分必要條件是 $$\bex f(x)\leq\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t \eex$$ 對 $\forall\ [x-h,x+h]\subset [a,b]$ 時成立.
4.4.1 證明: $\dps{0.83<\int_0^1\frac{\rd x}{\sqrt{1+x^4}}<0.95}$.
4.4.2 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續可微, $f(a)=0$. 試證: $$\bex M^2\leq (b-a)\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 其中 $\dps{M=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|}$.
4.4.3 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續可微, 並且 $f(1)-f(0)=1$. 證明 $$\bex \int_0^1 f'^2(x)\rd x\geq 1. \eex$$ (國外賽題)
4.4.4 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續可微 ($0<a<b$), $f(a)=f(b)=0$, $\dps{\int_a^b f^2(x)\rd x=1}$. 試證: $$\bex \int_a^b x^2f'^2(x)\rd x>\frac{1}{4}. \eex$$
4.4.5 試證: $$\bex 0<q<p\ra \ln \frac{p}{q}\leq \frac{p-q}{\sqrt{pq}}. \eex$$
4.4.6 設函數 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有連續導數, $f(a)=f(b)=0$. 試證: $$\bex \int_a^b |f(x)f'(x)|\rd x\leq \frac{b-a}{4}\int_a^b f'^2(x)\rd x, \eex$$ 並且 $\dps{\frac{b-a}{4}}$ 不能再小.
4.4.7 若 $u_1,u_2,\cdots,u_n\geq 0$, $u_1\cdot u_2\cdots u_n=1$, 則有 $u_1+u_2+\cdots+u_n\geq n$. 試證明這一結論, 並由它導出定理 3 (平均值定理).
4.4.8 設 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是正數, 且 $n\geq 1$. 證明: $$\bex \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq \frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$ (中山大學)
4.4.9 設 $f(x)$ $\nearrow$ 連續 (當 $x\geq 0$ 時), $f(0)=0$, $a,b\geq 0$, 試證: $ab\leq af(a)+bf^{-1}(b)$.
4.4.10 若 $\forall\ i,j$ 有 $(a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0$, 則 $a_i,b_i$ 稱為似序的. 若恆有相反的不等式, 則稱之為反序的. 試證: $a_i,b_i$ 似序時 $$\bex \sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i\leq n \sum_{i=1}^n a_ib_i, \eex$$ $a_i,b_i$ 反序時不等式反號. 等號當且僅當 $a_1=\cdots=a_n$ 或 $b_1=\cdots =b_n$ 時成立. (Chebyshev)
4.5.1 計算 (1) $\dps{\int_a^b \frac{\rd x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\ (b>a)}$. (2) $\dps{\int_{-1}^1 \frac{\rd x}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}\ (a>1)}.$
4.5.2 計算 $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\rd x}{(x^2+2x+2)^n}}$. (中國科學院)
4.5.3 求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函數 $f(x)$ 連續).
4.5.4 計算 $\dps{\int_0^1 \frac{\arcsin x}{x}\rd x}$.
4.5.5 計算 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin (2k-1)x}{\sin x}\rd x}$.
4.5.6 證明 $\dps{\int_0^\infty f\sez{\sex{Ax-\frac{B}{x}}^2}\rd x=\frac{1}{A}\int_0^\infty f(y^2)\rd y}$ (其中左、右積分存在, 且 $A,B>0$).
4.5.7 研究下列積分的收斂性: (1) $\dps{\int_{-\infty}^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x}$ ($n$ 為自然數). (2) $\dps{\int_0^{+\infty} \sin^2\sez{\pi\sex{x+\frac{1}{x}}}\rd x}$.
4.5.8 設 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 時, $f'(x)$ 單調遞增趨於 $+\infty$, 則 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \cos f(x)\rd x \eex$$ 都收斂.
4.5.9 設 $f(x)$ 為連續實值函數, 對所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<+\infty}$, 求證: $$\bex \frac{1}{n}\int_0^n xf(x)\rd x\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ (中國科學院)
4.5.10 證明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{\e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.
4.5.11 設 $f(x)$ 是 $0\leq x<\infty$ 上的非負連續函數並滿足 (1) 在 $0\leq x<\infty$ 上存在有界導數 $f'(x)$; (2) $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<\infty}$. 求證: $\dps{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$. (山東大學)
4.5.12 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上連續且 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收斂. 問能否斷定: $\exists\ x_n\to\infty$, 使 $\dps{\vlm{x}f(x_n)=0}$? 為什么? (南開大學)
4.5.13 設 $f(x)$ 於任一有限區間 $[0,a]\ (a>0)$ 上正常可積, 於 $[0,\infty)$ 上絕對可積, 則 $$\bex \vlm{n}\int_0^\infty f(x)|\sin nx|\rd x =\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\rd x. \eex$$ (南京大學)
4.5.14 若函數 $p(t)$ 在 $[0,\infty)$ 連續, 且當 $t\to+\infty$ 時, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 為正整數). 又 $\lm<0$, 證明: 當 $t\to\infty$ 時, $$\bex \int_t^\infty p(\tau)\e^{\lm \tau}\rd \tau=o(t^{N+1})\e^{\lm t}. \eex$$ (北京師范大學)
4.5.15 $\sed{C_n^k}_{k=0}^n$ 而二項式系數, $A_n,G_n$ 分別表示它們的算術平均值與幾何平均值. 試證: $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{A_n}=2,\quad \vlm{n}\sqrt[n]{G_n}=\sqrt{\e}. \eex$$
4.5.16 例 4.5.37 的逆命題不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 內單調, $\dps{\vlm{n}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}}}$ 存在, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$ 可以不收斂.
4.5.17 已知積分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin \beta x}{x}\rd x=\frac{\pi }{2}\sgn \beta}$ (見例 7.1.38), 求積分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\sin x\cos xt}{x}\rd x}$. (華北電力學院)
4.5.18 證明: $$\bex \int_0^\infty \frac{\rd x}{1+x^4}=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\rd x=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}. \eex$$ (北京航空航天大學)