《數學分析》筆記：實數集和函數 2

§ 2 數集 · 確界原理

一 區間與鄰域

區間

設 \(a,b\in\mathbf{R}\)，且 \(a<b.\) 我們稱數集 \(\left \{x\ |\ a<x<b\right \}\) 為開區間，記作 \((\ a\ ,\ b\ )\)；數集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x\leqslant b\right \}\) 為閉區間，記作 \([\ a\ ,\ b\ ]\)；數集 \(\left \{x\ |\ a\leqslant x<b\right \}\) 和 \(\left \{x\ |\ a< x\leqslant b\right \}\) 都稱為半開半閉區間，分別記作 \([\ a\ , \ b\ )\) 和 \((\ a\ ,\ b\ ]\). 以上這幾類區間統稱為有限區間.
滿足關系式 \(x\geqslant a\) 的全體實數 \(x\) 的集合記作 \([\ a\ ,\ +\infty \ )\)，這里符號 $\infty $ 讀作“無窮大”，\(+\infty\) 讀作“正無窮大” . 類似地，我們記

\[(\ -\infty\ ,\ a]=\{x\ |\ x\leqslant a\},(\ a\ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ x>a\} \]

\[(\ -\infty\ ,\ a)=\{x\ |\ x< a\},(\ -\infty \ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ -\infty < x<+\infty\}=\mathbf{R} \]

其中 \(-\infty\) 讀作“負無窮大”. 以上這幾類數集都稱為無限區間. 有限區間和無限區間統稱為區間.

鄰域

設 \(a\in\mathbf{R},\delta>0\). 滿足絕對值不等式 \(|x-a|<\delta\) 的全體實數 \(x\) 的集合稱為點 \(a\) 的 \(\delta\) 鄰域，記作 \(U(a;\delta)\)，或簡單地寫作 \(U(a)\)，即有

\[U(a;\delta)=\{x\ |\ |x-a|<\delta\}=(\ a-\delta\ ,\ a+\delta\ ). \]

點 \(a\) 的空心 \(\delta\) 鄰域定義為

\[U^{\circ }(a;\delta)=\{x\ |\ 0<|x-a|<\delta\}, \]

幾種常用鄰域

1. 點 \(a\) 的 \(\delta\) 右鄰域 \(U_+(a;\delta)=[\ a\ ,\ a+\delta\ )\)，簡記為 \(U_+(a)\)
2. 點 \(a\) 的 \(\delta\) 左鄰域 \(U_-(a;\delta)=(\ a-\delta\ ,\ a\ ]\)，簡記為 \(U_-(a)\)
3. \(U_-(a)\) 和 \(U_+(a)\) 去除點 \(a\) 后，分別為點 \(a\) 的空心 \(\delta\) 左、右鄰域，簡記為 \(U^\circ _ -(a)\) 與 \(U^\circ _ +(a)\)
4. \(\infty\) 鄰域 \(U(\infty)=\{x\ |\ |x|>M\}\)，其中 \(M\) 為充分大的正數（下同）
5. \(+\infty\) 鄰域 \(U(+\infty)=\{x\ |\ x>M\}\)
6. \(-\infty\) 鄰域 \(U(-\infty)=\{x\ |\ x<-M\}\)

二 有界集·確界原理

定義

定義1 設 \(S\) 為 \(\mathbf{R}\) 中的一個數集 . 若存在數 \(M(L)\)，使得對一切 \(x\in S\)，都有 \(x\leqslant M(x\geqslant L)\)，則稱 \(S\) 為有上界（下界）的數集，數 \(M(L)\) 稱為 \(S\) 的一個上界（下界） . 若數集 \(S\) 既有上界又有下界，則稱 \(S\) 為有界集 . 若 \(S\) 不是有界集，則稱 \(S\) 為無界集 .

定義2 設 \(S\) 為 \(\mathbf{R}\) 中的一個數集 . 若數 \(\eta\) 滿足：

1. 對一切 \(x\in S\)，有 \(x\leqslant \eta\)，即 \(\eta\) 是 \(S\) 的上界

2. 對任何 \(\alpha<\eta\)，存在 \(x_0\in S\)，使得 \(x_0>\alpha\)，即 \(\eta\) 又是 \(S\) 的最小上界
   則稱數 \(\eta\) 為數集 \(S\) 的上確界，記作

\[\eta=\sup S. \]

定義3 設 \(S\) 是 \(\mathbf{R}\) 中的一個數集 . 若數 \(\xi\) 滿足：

1. 對一切 \(x\in S\)，有 \(x\geqslant \xi\)，即 \(\xi\) 是 \(S\) 的下界
2. 對任何 \(\beta >\xi\)，存在 \(x_0\in S\)，使得 \(x_0<\beta\)，即 \(\xi\) 又是 \(S\) 的最大下界

則稱數 \(\xi\) 為數集 \(S\) 的下確界，記作

\[\xi=\inf S. \]

上確界與下確界統稱為確界

重要定理

※定理1（確界原理） 設 \(S\) 為非空數集 . 若 \(S\) 有上界，則 \(S\) 必有上確界；若 \(S\) 有下界，則 \(S\) 必有下確界 .

※證 我們只證明上確界的結論，后一結論可以類似地證明 .

不妨設 \(S\) 含有非負數 . 由於 \(S\) 有上界，故可找到非負整數 \(n\)，使得

1. 對於任何 \(x\in S\)，有 \(x<n+1\)
2. 存在 \(a_0\in S\)，使 \(a_0\geqslant n\).

對半開區間 \([\ n\ ,\ n+1\ )\) 作 \(10\) 等分，分點為 \(n.1,n.2,\cdots,n.9\)，則存在 \(0,1,2,\cdots,9\) 中的一個數 \(n_1\)，使得

1. 對於任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1+\dfrac 1{10}\)
2. 存在 \(a_1\in S\)，使 \(a_1\geqslant n.n_1\).

再對半開區間 \([\ n.n_1\ ,\ n.n_1+\dfrac {1}{10}\ )\) 作 \(10\) 等分，則存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一個數 \(n_2\)，使得

1. 對於任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1n_2+\dfrac 1{10^2}\)
2. 存在 \(a_2\in S\)，使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\).

連續不斷地 \(10\) 等分在前一步驟中所得到的半開區間，可知對任何 \(k=1,2, \cdots\)，存在 \(0,1,2,\cdots ,9\) 中的一個數 \(n_k\)，使得

1. 對於任何 \(x\in S\)，有 \(x<n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k}\)
2. 存在 \(a_2\in S\)，使 \(a_2\geqslant n.n_1n_2\cdots n_k\).

將上述步驟無限進行下去，得到實數 \(\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots\). 以下證明 \(\eta=\sup S\). 為此只需證明：

1. 對一切 \(x\in S\)，有 \(x\leqslant \eta\)
2. 對任何 \(\alpha<\eta\)，存在 \(a'\in S\)，使 \(\alpha<a'\)

倘若結論 \(1\) 不成立，即存在 \(x\in S\)，使 \(x>\eta\)，則可找到 \(x\) 的 \(k\) 位不足近似 \(x_k\)，使

\[x_k>\overline{\eta}_k=n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

從而得

\[x>n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

但這與上面結論相矛盾，於是 \(1\) 得證

現設 \(\alpha<\eta\)，則存在 \(k\)，使 \(\eta\) 的 \(k\) 位不足近似 \(n_k>\overline{\alpha}_k\)，即

\[n.n_1n_2\cdots n_k>\overline{\alpha}_k. \]

根據數 \(\eta\) 的構造，存在 \(a'\in S\)，使 \(a'\geqslant \eta_k\)，從而有

\[a'\geqslant\eta_k>\overline{\alpha}_k\geqslant\alpha. \]

得到 \(\alpha<a'\)，說明 \(2\) 成立

該定理是極限理論的基礎

若把 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 補充到實數集中，並規定任一實數 \(a\) 與 \(+\infty,-\infty\) 的大小關系為：\(a<+\infty\ ,a>-\infty\ ,-\infty<+\infty\)，則確界概念可擴充為：若數集 \(S\) 無上限，則定義 \(+\infty\) 為 \(S\) 的非正常上確界，記作 \(\sup S=+\infty\)；若 \(S\) 無下限，則定義 \(-\infty\) 為 \(S\) 的非正常下確界，記作 \(\inf S=-\infty\). 相應地根據前面定義 \(2\) 和定義 \(3\) 中所定義的確界分別成為正常上、下確界.

定理2（推廣的確界原理）任一非空集必有上、下確界（正常的或非正常的）.

例如，對於正整數集 \(\mathbf{N}_+\)，有 \(\inf\mathbf{N}_+=1,\sup\mathbf{N}_+=+\infty\)；對於數集

\[S=\{y\ |\ y=2-x^2\ ,x\in\mathbf{R}\}, \]

有 \(\inf S=-\infty,\sup S=2.\)