《數學分析》筆記：實數集和函數 1

§ 1 實 數

一 定義

定義 1 給定兩個非負實數

\[x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\ y=b_0.b_1b_2\cdots b_n\cdots, \]

其中 \(a_0,b_0\) 為非負整數，\(a_k,b_k(k=1,2,\cdots)\) 為整數，\(0\leqslant a_k\leqslant 9,0\leqslant b_k\leqslant 9.\) 若有

\[a_k=b_k,k=0,1,2,\cdots, \]

則稱 \(x\) 與 \(y\) 相等，記為 \(x=y;\) 若 \(a_0>b_0\) 或存在非負整數 \(l\) 使得

\[a_k=b_k(k=0,1,2,\cdots,l)\text{而}a_{l+1} > b_{l+1}, \]

則稱 \(x\) 大於 \(y\) 或 \(y\) 小於 \(x,\) 分別記為 \(x>y\) 或 \(y<x.\)

對於負實數 \(x,y\)，若按上述規定分別有 \(-x=-y\) 與 \(-x>-y\)，則分別稱 \(x=y\) 與 \(x<y\) \((\) 或 \(y>x).\) 另外，規定任何非負實數大於任何負實數 .

定義 2 設 \(x=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\) 為非負實數，稱有理數

\[x_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n \]

為實數 \(x\) 的不足近似，而有理數

\[\overline{x}_n=x_n+\frac{1}{10^n} \]

稱為 \(x\) 的 \(n\) 位過剩近似，\(n=0,1,2\cdots .\)

對於負實數 \(x=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots\)，其\(n\)位不足近似與過剩近似分別規定為

\[x_n=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n-\frac 1{10^n}\text{與}\ \overline{x}_n=-\ a_0.a_1a_2\cdots a_n. \]

注 不難看出，實數 \(x\) 的不足近似 \(x_n\) 當 \(n\) 增大時不減，即有 \(x_0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots\)，而過剩近似 \(\overline{x}_n\) 當 \(n\) 增大時不增，即有 \(\overline{x}_0\geqslant \overline{x}_1 \geqslant \overline x_2 \geqslant \cdots.\)

二 重要定理

設 \(x=a_0.a_1a_2\cdots\) 與 \(y=b_0.b_1b_2\cdots\) 為兩個實數，則 \(x>y\) 的等價條件是：存在非負整數 \(n\)，使得

\[x_n>\overline y_n, \]

其中 \(x_n\) 表示 \(x\) 的 \(n\) 位不足近似，\(\overline y_n\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 位過剩近似 .

三 實數性質

1. 實數集 \(\mathbf{R}\) 對加、減、乘、除 \((\) 除數不為 \(0)\) 四則運算是封閉的，即任意兩個實數的和、差、積、商 \((\) 除數不為 \(0)\) 仍然是實數 .

2. 實數集是有序的，即任意兩實數 \(a,b\) 必滿足下述三個關系之一 \(a<b,a=b,a>b.\)

3. 實數的大小關系具有傳遞性，即若 \(a>b,b>c,\) 則有 \(a>c.\)

4. 實數具有阿基米德 (Archimedes) 性，即對任何 \(a,b\in\mathbf{R}\)，若 \(b>a>0,\) 則存在正整數 \(n\)，使得 \(na>b.\)

5. 實數集 \(\mathbf{R}\) 具有稠密性，即任何兩個不相等的實數之間必有另一個實數，且既有有理數，也有無理數 .

6. 如果在一直線（通常畫成水平直線）上確定一點 \(O\) 作為原點，指定一個方向為正向（通常把指向右方的方向規定為正向），並規定一個單位長度，則稱此直線為數軸，任一實數都對應數軸上惟一的一點；反之，數軸上的每一點都惟一地代表一個實數 . 於是，實數集 \(\mathbf{R}\) 與數軸上的點有着一一對應關系 .

四 實數絕對值的性質

1. \(|a|=|-a|\geqslant 0\) 當且僅當 \(a=0\) 時有 \(|a|=0.\)

2. \(-|a|\leqslant a \leqslant |a|.\)

3. \(|a|<h\Leftrightarrow -h<a<h,|a|\leqslant h\Leftrightarrow -h\leqslant a\leqslant h(h>0).\)

4. 對於任何 \(a,b\in\mathbf{R}\) 有如下的三角形不等式 :

\[|a|-|b|\leqslant|a\pm b|\leqslant |a|+|b|. \]

5. \(|ab|=|a||b|.\)

6. \(|\dfrac a b|=\dfrac{|a|}{|b|}(b \neq 0).\)