近來打算趁着事情較少，學習一下數學分析，畢竟數學這東西，越早越學，越早養成思維，越有益處。
反復選擇，最后來B站看了陳紀修的數學分析課程，用ipad寫了筆記（也不知道能學多久）。前幾年見過有大神用\(\LaTeX\)邊上課邊做筆記，於是我便打算試試Markdown來做一下，先把自己手寫的打出來。
結論就是，大神就是大神，我連集合的符號都要不停地百度。。。算了，還是手寫方便，更加專注於思路，畢竟\(y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)\)和$y(t)=1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}t+\theta)$相比，前者手寫快多了。
所以下文應該是第一篇筆記，也可能是最后一篇。。。
1 集合與元素
§1 集合
集合概念
集合（集）： 具有某種特定性質，具體或抽象的對象匯集的總體。
集合的表示：
-
枚舉法
光基色的集合：{R, G, B}
\(\mathbb{N}^{+}={1, 2, 3, ..., n}\)
\(\mathbb{Z}=\{0, \pm1, \pm2, ..., \pm n, ...\}\) -
描述法
\(S=\{x|x滿足性質P\}\)
\(\mathbb{Q}=\{x|x=\frac{q}{p}, p\in \mathbb{N}^{+}且q\in \mathbb{Z}\}\)
[注]：
- 集合表示無次序關系，重復的也沒有意義
\(\{a, b\}=\{b, c\}=\{a, b, c\}\) - 空集概念
\(C=\{x|x \in \mathbb{R} 且x^2+1=0 \}= \varnothing\)
子集：若S的所有元素都居於T，則S是T的子集，記為\(S \subset T\)
-
\(S \subset T表述 x\in S \Rightarrow x\in T\)
-
\(S \not \subset T\): 若\(S \subset T\)，T中至少有一個元素不屬於S，則S不是T的子集，記為\(S \not \subset T\)
-
\(S \not \subseteq T\)： 若S屬於T，T中存在一元素x不居於S，責任S是T的真子集
-
\(S = T\): 若S、T所有蒜素相同，則集合相同
集合的運算
並、交、差、補
-
S與T的並：S與T匯集所成的集合
\(S \cup T=\{ x|x \in S 或 x \in T \}\) -
S與T的交：S與T公共元素所組成
\(S \cap T=\{ x|x \in S 且 x \in T \}\) -
S與T的差：居於S但不居於T的元素的集合
\(S \setminus T=\{ x|x \in S 且 x \not \in T \}\) -
S與T的補集：設在X集合中討論問題，\(S\subset T\),則S關於X的補集
\(S_X^C=\{ x|x \in X 且 x \not \in S \} = X \setminus S\)
定律：
- 交換律
\(S \cup T = T \cup S, S \cap T= T \cap S\) - 結合律
\(A \cup (B \cup D) = (A \cup B )\cup D\)
\(A \cap (B \cap D) = (A \cap B )\cap D\) - 分配律
\(A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)\)
\(A \cap (B \cup D) = (A \cap B )\cup (A \cap D)\) - 對偶律(De Morgan)
\((A\cup B)^C = A^C \cap B^C\)
\((A\cap B)^C = A^C \cup B^C\)
[證明]
思路：左邊包含於右邊，右邊包含於左邊，互相包含
證明\(A \cup (B \cap D) = (A \cup B )\cap (A \cup D)\)
1 設\(x\in A\cup (B\cap D)\)
則\(x\in A \quad 或者\quad x \in B且x \in D\)
則\(x \in A \cup B \quad且\quad x\in A \cup D\)
\(\therefore x \in (A\cup B) \cap (A\cup D) \Rightarrow A \cup (B \cap D) \subset (A\cup B) \cap (A\cup D)\)
2 設\(x \in (A \cup B)\cap (A \cup D)\)
則 \(x \in A \cup B 且 x \in A \cup D\)
可知 \(x\in A 或 x \in B \cap D\)
則 \(x \in A \cup (B \cap D) \Rightarrow (A \cup B) \cap (A \cup D) \subset A \cup (B \cap D)\)
證畢
有限集合無限集
有限集： S由n個元素組成（n是非負整數），則S是有限集。
不是有限集則為無限集。
可列集：如無限集中的元素可按照某種規律排成一排，則該集合為可列集。
\(S = \{a_1, a_2, ..., a_n, ...\}\)。 例如：\(N^+=\{x|\sin x=0\}\)
- 任一無限集包含可列子集
- 無限集不一定是可列子集
- \(\mathbb{R}\)是無限集，但不是可列集
例題：整數集合\(\mathbb{Z}\)是可列集。
解：
\(\mathbb{Z}=\{0, 1, -1, 2, -2, ..., n, -n, ...\}\)
【定理1.1.1】可列個可列集之並也是可列集。
\(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_n ... = \{x|存在n\in \mathbb{N}^+，使得x\in A_n\}，則\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n也是可列集\)
[證明]
思路：使用對角線排列
對任意\(n \in \mathbb{N}^+, A_n = \{x_{n1}, x_{n2}, x_{n3}, ..., x_{nk}, ...\}\)
使用對角線排列
\(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \{x_{11},x_{12}, x_{21}, x_{13}, x_{22}, x_{31}, x_{14}, ...\}\)
故可列個可列集之並也是可列集。
【定理1.1.2】有理數集合\(\mathbb{Q}\)是可列集
[證明]
思路：分開區間
\((-\infty, +\infty)\)由可列個(n, n+1]的並構成\((n \in \mathbb{Z})\)，只要讓(0, 1]中有理數全體為可列集。
(0, 1]中每個有理數可唯一表示成\(\frac{q}{p} p \in N^+, q \in N^+, p, q互質, p\ge q\)
分母p=1的有理數：\(x_{11}=1\)
分母p=2的有理數：\(x_{21}=1/2\)
分母p=3的有理數：\(x_{31}=1/3 \quad x_{32}=2/3\)
分母p=4的有理數：\(x_{41}=1/4 \quad x_{42}=3/4\)
分母p=n的有理數：\(x_{n1}=1/n ,x_{n2}, ..., x_{nk(n)}\)
(0, 1]上的全體有理數可排列成
\(\{x_{11},x_{21}, x_{31}, x_{32}, ...x_{n1}, x_{n2},... x_{nk(n)}, ...\}\)，故為可列集。