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2019-2020學年第2學期-數學分析2

本文轉載自   查看原文   2020-02-12 21:35   272    數學分析
課程信息 教學計划 注記隨記 作業

課程信息

曲阜師范大學數學科學學院, 2019級信息與計算科學專業.

上課時間: 1-18周, 周二3-4節，周四1-2節，周五3-4節. 6課時/周, 共計108課時.
上課地點: 數學樓106教室.
晚自習答疑: 待定.

教材:

數學分析(上冊，第五版), 華東師范大學數學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945. 第4版上冊教材下載

數學分析(下冊，第五版), 華東師范大學數學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

習題解答:

數學分析習題課講義(2), 李傅山、王培合 編著, 北京大學出版社, 2018, ISBN: 9787301291856.

參考資料:

【1】吉米多維奇數學分析習題集學習指引(第2冊), 謝惠民、沐定夷 編著, 高等教育出版社, 2011， ISBN: 9787040323566. 下載

【2】數學分析習題課講義(上冊，第2版), 謝惠民、惲自求等 編, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040498516.

【3】數學分析習題課講義(下冊，第2版), 謝惠民、惲自求等 編, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040511529.

【4】數學分析中的典型問題與方法(第2版), 裴禮文 編, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040184549.

【5】數學分析原理與方法, 胡適耕 、張顯文 編著, 科學出版社, 2008, ISBN: 9787030217974.

【6】微積分學教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥爾茨 著, 徐獻瑜、冷生明、梁文騏 譯, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【7】數學分析原理(第3版), [美] Walter Rudin 著, 趙慈庚、蔣鐸 譯, 機械工業出版社, 2004, ISBN: 9787111134176.

教學計划

教學日歷 下載

第七章 實數系的完備性
第八章 不定積分
第九章 定積分
第十章 定積分的應用
第十一章 反常積分
第十二章 數項級數
第十三章 函數列與函數項級數

第七章 實數系的完備性

實數系完備性的定理體系:

  1. 確界原理;
  2. 單調有界定理;
  3. 致密性定理;
  4. Cauchy收斂准則;
  5. 閉區間套定理;
  6. 聚點定理;
  7. 有限覆蓋定理.

我們在第1章和第2章已經學過前4個定理. 本章學習后面3個定理.

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  • P1 閉區間套定理-1
    區間套的概念. 閉區間套定理、推論及相關討論(開區間套一般沒有公共點).

  • P2 閉區間套定理-2
    利用閉區間套定理可以證明連續函數的零點存在定理, 證明過程稱為“二分法”, 它提供了求解方程\(f(x)=0\)的近似根的一種迭代算法.

  • P3 聚點定理-1
    聚點的定義和其它等價定義. 聚點定義的等價性證明.

  • P4 聚點定理-2
    聚點定理的證明. 方法1：利用閉區間套定理; 方法2：利用致密性定理.

  • P5 有限覆蓋定理-1
    覆蓋的定義. 有限覆蓋定理及其證明. 證明方法: 利用閉區間套定理.

  • P6 有限覆蓋定理-2
    有限覆蓋定理的應用：1. 證明閉區間上連續函數的有界性定理；2. 證明一致連續性定理(閉區間上的連續函數一定一致連續).

  • P7 習題課-1
    7.1節習題1-7題; 總練習題第1題.

  • P8 習題課-2
    7.1節習題第10題, 通過引入加強形式的覆蓋定理, 證明連續函數的零點存在定理.

第八章 不定積分

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8.1 不定積分概念與基本積分公式

(授課講義pdf)

8.2 換元積分法與分部積分法

(授課講義pdf)

8.3 有理函數和可化為有理函數的不定積分

(授課講義pdf)

  • P13 8.3-有理函數和可化為有理函數的不定積分-1
    求有理函數的不定積分的步驟: Step1. 利用多項式除法將假分式化為多項式和真分式的和; Step2. 對真分式的分母做標准分解; Step3. 按照分母的標准分解形式, 將作為被積函數的真分式分解為4類部分分式的和; 4. 求部分分式的不定積分, 最終得到被積函數的不定積分.
    4類部分分式:

    • \[(I)\quad \frac{A}{x-a}; \]

    • \[(II)\quad \frac{A}{(x-a)^k}\quad (k\geq 2); \]

    • \[(III) \quad \frac{Bx+C}{x^2+px+q}\quad (\Delta =p^2-4q<0); \]

    • \[(IV) \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\quad (k\geq 2,\ \Delta =p^2-4q<0); \]

    難點: 1. 分母的標准分解(需要經驗與技巧); 2. 真分式分解為部分分式的和(計算量大); 3. 求第(IV)類部分分式的不定積分(計算量大).

  • P14 8.3-有理函數和可化為有理函數的不定積分-2
    教材中有理函數不定積分的例子. 建議記住以下兩個不定積分:

    • \[\int \frac{t}{t^2+1}{\rm d} t=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t^2}{\rm d}(t^2)=\frac{1}{2}\ln (t^2+1)+C; \]

    • \[\int \frac{1}{(t^2+1)^2}{\rm d} t=\frac{1}{2}\left(\arctan t+\frac{t}{t^2+1} \right)+C. \]

  • P15 8.3-有理函數和可化為有理函數的不定積分-3
    三角函數有理式的不定積分, 有兩種常用的變量替換方法: 1. 萬能代換\(t=\tan \frac{x}{2}\); 2. 有理式中的三角函數是以\(\sin^2 x\), \(\cos^2 x\), \(\tan x\)等形式出現的, 可嘗試利用\(t=\tan x\).

  • P16 8.3-有理函數和可化為有理函數的不定積分-4
    含根式的有理式的不定積分

    \[\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0), \]

    利用變換\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)將上述不定積分轉化為關於變量\(t\)的有理函數的不定積分\(\int R(t){\rm d}t\).

  • P17 8.3-有理函數和可化為有理函數的不定積分-5
    含根式的有理式的不定積分

    \[\int R\left(x, \sqrt{ax^2 +bx +c}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0), \]

    其中(i) \(a>0\)並且\(\Delta=b^2-4ac\neq 0\); 或者(ii) \(a<0\)並且\(\Delta=b^2-4ac>0\), 上述兩種條件保證二次根式能夠成立. 處理方法：

    • 直角三角形技巧；
    • Euler變換.

第8章習題課

(授課講義pdf)

第九章 定積分

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9.1 定積分概念

(授課講義pdf)

  • P1 9.1-定積分概念-1
    區間的分割, Remann和及其幾何意義, Riemann可積與Riemann積分.
    問題1: 給定區間\([a,b]\)上的函數\(f\), 如何判斷\(f\)在\([a,b]\)上可積? 連續一定可積.
    問題2: 已知\(f\)在\([a,b]\)上可積, 如何計算\(\int_a^b f(x){\rm d}x\)?

  • P2 9.1-定積分概念-2
    Riemann積分與Riemann和的極限之間的轉化. 定積分的幾何意義: 分割，近似, 取極限. 用定積分來定義(不規則)平面圖形的面積.

  • P2 9.1-定積分概念-3
    計算平面圖形面積的具體例子.

9.2 Newton-Leibniz公式

(授課講義pdf)

9.3 可積條件

(授課講義pdf)

  • P6 9.3-可積條件-1
    可積的必要條件：可積必有界, 無界必不可積; 有界不一定可積, 反例-Dirichlet函數.
    可積的充分必要條件: Darbo和方法.

  • P7 9.3-可積條件-2
    可積函數類：(1) 在\([a,b]\)上連續的函數; (2) 在\([a,b]\)上只有有限多個間斷點的有界函數; (3) 在\([a,b]\)上單調的有界函數.

  • P8 9.3-可積條件-3
    在\([a,b]\)上有無限多個間斷點的有界函數, 可能可積, 也可能不可積. 可積的例子.

  • P9 9.3-可積條件-4
    專題: Riemann函數的連續性和可積性. Riemann函數\(R(x)\)在\((0,1)\)中的有理點都不連續, 無理點都連續. \(R(x)\)在\([0,1]\)上可積並且

    \[\int_0^1 R(x){\rm d}x=0. \]

第九章習題課1

(授課講義pdf)

9.4 定積分的性質

(授課講義pdf)

  • P12 9.4-定積分的性質-1
    線性性質, 乘積性質.
  • P13 9.4-定積分的性質-2
    區域(區間)可加性.
  • P14 9.4-定積分的性質-3
    保不等式性, 絕對值性質.
  • P15 9.4-定積分的性質-4
    基本性質的應用例子. 重要的例子: 非負連續函數的定積分.
  • P16 9.4-定積分的性質-5
    積分第一中值定理, 推廣形式的積分第一中值定理, 推論.
  • P17 9.4-定積分的性質-6
    中值點\(\xi\)實際上可以在開區間\((a,b)\)內取得. 對含參數\(n\in \Bbb{N}_+\)的定積分求極限的例子.
  • P18 9.4-定積分的性質-7
    問題: 求極限與求定積分是否可以交換順序? 設\(f_n,f\)均在\([a,b]\)上可積, 並且對任意\(x\in [a,b]\), 有\(\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\), 是否有

    \[\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x=\int_a^b f(x){\rm d}x=\int_a^b \lim_{n\to \infty}f_n(x){\rm d}x? \]

    不一定.

第九章習題課2

(授課講義pdf)

9.5 微積分學基本定理·定積分計算(續)

(授課講義pdf)

第九章習題課3

(授課講義pdf)

  • P30 第九章習題課3-1
    9.5節習題15，16題.
  • P31 第九章習題課3-2
    第九章總練習題2，5題.
  • P32 第九章習題課3-3
    第九章總練習題7,8,9,10題. 6和7題中引入了\(p=2\)時的積分形式的Holder不等式和Minkowski不等式. 第9題實際上給出了正項級數和非負函數無窮積分的關系, 可以借此引出正項級數的積分判別法.
  • P33 第九章習題課3-4
    Ivan Niven關於\(\pi\)是無理數的證明 pdf.

第十章 定積分的應用

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10.1 平面圖形的面積

(授課講義pdf)

  • P1 10.1-平面圖形的面積-1
    學習本章內容應該注意的一些事項.
    平面直角坐標系下, 方程為一般式\(y=f(x)\)的曲線與相關坐標軸或曲線所圍成的平面圖形的面積.
  • P2 10.1-平面圖形的面積-2
    平面直角坐標系下, 方程為參數方程\(x=x(t),\ y=y(t)\)的曲線與相關坐標軸或曲線所圍成的平面圖形的面積.
  • P3 10.1-平面圖形的面積-3
    極坐標系下, 方程為極坐標方程\(r=r(\theta)\)的曲線與相關射線或曲線所圍成的平面圖形的面積.

10.2 由平行截面面積求體積

(授課講義pdf)

10.3 平面曲線的弧長與曲率

(授課講義pdf)

第十章習題課1

(授課講義pdf)

第十章習題課2

(授課講義pdf)

10.4 旋轉曲面的面積

(授課講義pdf)

第十章習題課3

(授課講義pdf)

第十一章 反常積分

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第十二章 數項級數

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第十三章 函數列與函數項級數

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13.1 一致收斂性

  • P1 13.1-一致收斂性-1
    函數列與函數列的逐點收斂(pointwise convergence). 設函數列\(\{f_n\}\)在數集\(D\)上逐點收斂於極限函數\(f\), 即使每個函數都在\(D\)上有界(連續、可導或可積), 極限函數\(f\)在\(D\)上也不一定有界(連續、可導或可積).
  • P2 13.1-一致收斂性-2
    一致收斂與內閉一致收斂的定義. 三種收斂之間關系的討論.
  • P3 13.1-一致收斂性-3
    判斷函數列一致收斂的方法: 1. 已知極限函數時, 可利用等價條件

    \[\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left| f_n(x)-f(x)\right|=0 \]

    來判斷; 2. 極限函數未知時, 可利用函數列一致收斂的Cauchy收斂准則.
  • P4 13.1-一致收斂性-4
    13.1節習題2，7題.
  • P5 13.1-一致收斂性-5
    函數項級數及其(逐點、一致或內閉一致)收斂等概念. 已知和函數時判斷函數項級數一致收斂的等價條件. 13.1節習題第4題
  • P6 13.1-一致收斂性-6
    和函數未知時, 判斷函數項級數一致收斂的方法: Cauchy收斂准則, Weierstrauss判別法(M判別法或優級數判別法). 13.1節習題5，6題

第十四章 冪級數

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第十五章 Fourier級數

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15.1 Fourier級數

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  • P1 15.1-Fourier級數-1
    定義三角函數系、三角級數. 引入一種特殊的內積空間——Riemann可積函數空間

    \[R[-\pi,\pi],\quad \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x){\rm d}x. \]

    證明三角函數系

    \[e_0(x)\equiv 0,\quad e_{2n-1}(x)=\cos nx,\quad e_{2n}(x)=\sin nx,\quad n=1,2,\cdots \]

    是可積函數空間\(R[-\pi,\pi]\)中的規范正交系, 即

    \[\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}= \begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\neq j. \end{cases} \]

注記隨記

作業


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