2021-2022學年第1學期-數學分析1

[本題的解答] 設$q>1$. (以下題目不得使用對數運算)

(1) 證明: 集合

\[S=\{q^k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\} \]
無上界;

(2) 證明: 對任意$\varepsilon>0$, 存在正整數$M$, 使得當$n\in \Bbb{N}_+$並且$n>M$時, 都成立

\[0<\frac{1}{q^n} <\varepsilon; \]
(3) 設$c>0$, 證明: 集合

\[E=\{k\in \Bbb{Z}\ |\ c< q^k \} \]
存在最小值.
(數學寫作規范) 觀察數學分析教材或者高等代數教材, 回答以下問題：

(1) 教材正文中使用的標點符號是中文標點符號還是英文標點符號？

(2) 輸入中文標點后，不需要空格，直接寫下一句。輸入英文標點(特別是逗號和句號)后, 是否需要空一格再輸入下一句話？

非書面作業

自己做完1.1節全部習題和1.2節習題的第1題到第5題；
預習1.3節和1.4節的全部內容；
觀看b站視頻：極限的嚴格定義($\varepsilon$-$\delta$ definition)
觀看b站視頻: 數學分析簡史

第6周

書面作業

[本題的解答] 按以下步驟證明指數函數

\[f(x)=a^x,\quad x\in (-\infty,+\infty) \]
的值域是$(0,+\infty)$, 其中$a>1$. 也就是證明, 對任何正數$y>0$, 方程

\[a^x=y \]
都存在實數解.

Step 1. 證明: 存在$m,n\in\Bbb{N}_+$, 使得

\[a^{-n}< y < a^m; \]
Step 2. 若存在實數$x$, 使得$a^x< y$, 則必存在$n\in \Bbb{N}_+$使得

\[a^{x+\frac{1}{n}}< y; \]
Step3. 若存在實數$x$, 使得$a^x>y$, 則必存在$n\in\Bbb{N}_+$使得

\[a^{x-\frac{1}{n}}> y; \]
(提示: 前3步都可利用上一周作業題1(1)的結論來證明.)

Step 4. 利用Step 1的結論證明: 集合

\[S=\{r\in \Bbb{Q}\ | \ a^r<y \} \]
是非空的有上界的集合;

Step 5. 記$x=\sup S$. 結合Step 2和Step 3的結論, 利用反證法證明:

\[a^x=y. \]
(提示: 利用反證法可推導出與"$x$是集合$S$的上確界"矛盾的結論.)
(數學寫作規范) 觀察數學分析教材或者高等代數教材, 回答以下問題：

(1) 數學式子(特別是在式子輸入完畢時)需要使用標點符號嗎？

(2) 閱讀以下句子, 用紅筆標記出其中標點符號的錯誤或缺失，並改正:

$\Bbb{R}^2$的如下映射$L_v$:

\[(\xi, \tau)=L_v (x,t) \]

其中$v$是一個滿足要求$0\leq v < c$的實數, $c$表示光速.

根據圖像可知, 函數

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1,&\quad x\in [-1,0)\\ 2x-2,&\quad x\in [0,1] \end{array} \right.\]

不是區間$[-1,1]$上的增函數。

非書面作業

做完本章全部習題

第7周

書面作業

[本題解答] 按照數列極限的$\epsilon-N$定義驗證極限等式

\[\lim_{n\to \infty} \dfrac{n^k}{a^n}=0, \]
其中$k\in \Bbb{N}_+$, $a>1$.

(提示設$a=1+h$, 其中$h>0$. 對分母$(1+h)^n$利用二項式展開，在$n>k$的前提下, 分母只保留$C_n^{k+1}h^{k+1}$, 再估計$\frac{n^k}{C_n^{k+1}}$.)
(數學寫作規范) 用紅筆標出下圖中的標點符號缺失或錯誤的地方，並修改.

來源: 學生提交的課程論文

非書面作業

做完2.1節全部習題和2.2節除了Ex6, Ex7的全部習題.

第8周

書面作業

[本題解答] 設$a\in \Bbb{R}$, $\delta>0$, 證明:

(1) 在$a$的去心左鄰域$U_-^0(a;\delta)=(a-\delta,a)$內存在嚴格遞增的有理數列$\{r_n\}$, 滿足

\[\lim_{n\to \infty}r_n=a; \]
(2) 在在$a$的去心右鄰域$U_+^0(a;\delta)=(a,a+\delta)$內存在嚴格遞減的無理數列$\{s_n\}$, 滿足

\[\lim_{n\to \infty}s_n=a. \]

(提示參考2.3節例3的證明過程, 結合有理數和無理數在實數集中的稠密性.)

(數學寫作規范) 重新排版下圖里的內容, 要求:

(1) 讓讀者一眼就能看出哪部分是題干, 哪部分是解答;

(2) 思考是否在需要的地方進行分段, 分段是否要在段首縮進兩個字;

(3) 改正其中的標點符號錯誤和幾處錯誤斷行;

(4) 重新對數學公式進行編號, 刪除其中冗余的公式編號, 只保留需要的公式編號.

來源: 學生提交的畢業論文

非書面作業

做完第2章全部習題;
閱讀Halmos的自傳《我要作數學家》前3章.

第9周

書面作業

[本題解答] 設

(i) $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A$, 並且存在$a\in \Bbb{R}$, 使得當$x>a$時, 總有
$$f(x)>A;$$

(ii) $\lim\limits_{t\to A^+} g(t)=B$,

其中$A,B\in \Bbb{R}$. 證明:

\[\lim_{x\to +\infty} g(f(x))=B. \]

(數學寫作規范) 列出所有24個希臘字母的大小寫及英文名稱.

非書面作業

做完3.1，3.2節習題, 3.4節Ex1~Ex3, 第三章總練習題Ex1.
閱讀ukim於2002年在北大未名bbs連載的數學家的故事——Heroes in My Heart.

第10周

書面作業

[本題解答] 設函數$f$, $g$和$h$在點$x_0$的某去心鄰域$U^\circ\left(x_0;\delta_0\right)$上有定義, 並且

\[f(x) \leq h(x)\leq g(x),\quad \forall x\in U^\circ\left(x_0;\delta_0\right). \]
(1) 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$, 結合正無窮大量的定義證明: $\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=+\infty$;

(2) 若$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=-\infty$, 結合負無窮大量的定義證明: $\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=-\infty$;

(3) 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$並且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty$, 是否成立$\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=\infty$？若成立, 證明該結論; 若不成立, 給出具體的反例.

非書面作業

做完第3章全部習題.

第11周

書面作業

[本題解答 ]設函數$f:[a,b]\to [a,b]$, 並且存在$q\in (0,1)$使得

\[|f(x)-f(y)|\leq q|x-y|,\quad \forall x,y\in [a,b]. \]

證明:

(1) 任取$x_0\in [a,b]$, 作迭代數列$x_n=f(x_{n-1})$, $n\in \Bbb{N}_+$, 則$\{x_n\}$收斂於$[a,b]$中某點$x^*$; (提示: 先利用條件和數學歸納法考察$|x_{n+1}-x_n|$與$|x_1-x_0|$的關系, 再證明$\{x_n\}$滿足Cauchy條件.)

(2) $x^*$是$f$在$[a,b]$中唯一的不動點. (提示: 需要證明並利用$f$的連續性.)

非書面作業

做完4.1節習題和4.2節第1到第10題.

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