2021-2022學年第2學期-數學分析2

[解答]設$f\in R[a,b]$, 並且$\displaystyle J=\int_a^b f(x){\rm d}x$. 證明: 對任意$\varepsilon>0$, 存在$[a,b]$的子區間$[\alpha,\beta]$, 使得

\[f(x)<\frac{J}{b-a}+\varepsilon,\quad \forall x\in [\alpha,\beta]. \]
(提示: 反證法, 假設結論不成立(關鍵之處, 結論的否定形式是什么), 據此考察$[a,b]$的任一分割$T$上的Darboux上和$U(f,T)$, 再進一步考察Darboux上積分, 得到矛盾.)

非書面作業

繼續反復練習第8章不定積分的例題和習題;
做完第9章前3節的習題.

第4周

書面作業

[解答] 按照以下步驟證明圓周率$\pi$是無理數.

Step1. 設$a,b$為正整數. 對任意$n\in \Bbb{N}_+$, 定義多項式函數

\[f(x)=\frac{x^n (a-bx)^n}{n!}. \]
求$f(x)$的展開式中含$x$的項的最高次數和最低次數.

Step2. 結合Step1的結論並注意到

\[f(x)=f\left(\frac{a}{b}-x\right), \]
驗證$f$及其$j=2,4,6,\ldots,2n$階導函數$f^{(j)}$ 在點$x=0$和$x=\frac{a}{b}$的函數值均為整數.

Step3. 令
$$F(x)=f(x)- f''(x)+ f^{(4)} (x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)} (x).$$
驗證

\[F'(x)\sin x-F(x)\cos x \]
是$f(x)\sin x$的一個原函數.

Step4. 反證法. 假設$\pi$不是無理數而是有理數, 可表為既約分數$\frac{a}{b}$, 其中$a,b$均為正整數. 按照前3步的過程定義函數$f$和$F$, 證明
$\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x{\rm d}x$是整數.

Step5. 當$x\in \left(0,\pi\right)$時, 驗證不等式

\[0<f(x)<\frac{\pi^n a^n}{n!}. \]
最后, 與Step4的結論做對比, 得出矛盾.
(提示: 數列$\left\{ \frac{c^n}{n!} \right\}$極限是多少？)

非書面作業

整理本周課堂筆記;
做完9.4節習題.

第5周

書面作業

[解答] 令

\[I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} {\rm d}x,\quad n=0,1,2，\cdots. \]
(1) 求$\lim\limits_{n\to \infty} I_n$; （提示：利用9.4節例3的分析方法）

(2) 求$I_n$的遞推公式; (提示：$\frac{x^n}{1+x}=\frac{x^{n-1}\cdot x}{1+x}=x^{n-1}\cdot \left(1-\frac{1}{1+x}\right)$)

(3) 利用前兩個小題的結論計算數列極限

\[\lim_{n\to \infty} \left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \right]. \]

非書面作業

做完9.5節習題和第9章總練習題.

第6周

書面作業

[解答] 設曲線C極坐標方程為$r=\cos 3\theta$, 按以下過程畫出$0\leq \theta\leq \pi$時曲線C的圖像.

Step1. 當$\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$時, 通過極坐標方程得到的極坐標$(r,\theta)$都是主值極坐標. 通過描點法畫出$\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$時曲線C的圖像;

Step2. 當$\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]$時, 通過極坐標方程得到的極坐標$(r,\theta)$不是主值極坐標, 將這些極坐標轉化為主值極坐標, 再利用主值極坐標的幾何意義通過描點法畫出$\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]$時曲線C的圖像;

Step3. 考察$\theta \in \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]$, $\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right]$, $\left(\dfrac{5\pi}{6},\pi\right]$的情形, 仿照Step1和Step2的過程, 利用主值極坐標的幾何意義通過描點法畫出相應情形下曲線C的圖像;

Step4. 用箭頭標記$\theta$從$0$連續變動到$\pi$的過程中曲線上對應的動點的移動軌跡，按先后順序用數字標記每一個弧段.

非書面作業

做完10.1節習題中和極坐標方程無關的題目.
繼續練習不定積分和定積分的計算, 特別是換元積分法和分部積分法.

第7周

書面作業

[解答] 設
(i) $\varphi$在$[\alpha,+\infty)$上可導並且對任意$u>\alpha$, $\varphi'$都在$[\alpha,u]$上可積;
(ii) $\varphi(\alpha)=a$. 對任意$u>\alpha$, 有$\varphi(u)>a$並且$\varphi([\alpha,u])\subset [a,\varphi(u)]$;
(iii) $\lim\limits_{t\to +\infty}\varphi(t)=A>a$, 並且$\varphi([\alpha,+\infty))\subset [a,A)$.
(iv) $f$在$[a,A)$上連續；

(1) 若$A=+\infty$, 證明無窮積分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x$與$\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t$同斂態(即斂散性相同). 特別地, 在同時收斂的情形下, 還成立

\[\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(2) 若$A<+\infty$並且$x=A$為瑕積分$\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x$的瑕點, 證明瑕積分$\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x$與無窮積分$\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t$同斂態(即斂散性相同). 特別地, 在同時收斂的情形下, 還成立

\[\int_a^{A}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(3) 若$A<+\infty$, 並且可以補充$f$在點$x=A$的值使得$f$在閉區間$[a,A]$上可積, $\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x$為正常積分. 證明無窮積分$\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t$收斂並且

\[\int_a^{A}f(x){\rm d}x=\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t. \]

(提示: 利用定積分的換元積分法. 反常積分本質上就是變限積分取極限.)

非書面作業

做完10.1-10.4節的習題;
做完11.1節的習題.

第8周

書面作業

[解答] 設$f$在$[a,b)$上有定義, 對任意$u\in [a,b)$, $f\in R[a,u]$, 點$x=b$為函數$f$的瑕點. 仿照瑕點為區間左端點的瑕積分的Cauchy判別法(推論3), 敘述並證明本題中瑕點為區間右端點的瑕積分$\displaystyle \int_a^b f(x){\rm d}x$的Cauchy判別法. (要求: 不借助性質4, 而是仿照推論3的證明思路.)

非書面作業

做完第11章的所有習題.

第9周

書面作業

[解答] 設$u_n\geq 0$, $\forall n\in \Bbb{N}_+$, 並且數列$\{u_n\}$中有無限多項為正實數. 將級數$\sum\limits_{n=1}^n u_n$中取值為0的項都去掉, 所得的級數記為$\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$. 證明: $\sum\limits_{n=1}^n u_n$與$\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$同斂態, 特別地, 對於收斂的情形, 還成立

\[\sum_{n=1}^n u_n=\sum_{k=1}^\infty v_k. \]

(關鍵：證明$\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$的部分和數列$\{\sigma_k\}$是$\sum\limits_{n=1}^n u_n$的部分和數列$\{S_n\}$的子列.)

非書面作業

做完12.1節習題；
復習剛剛學完的一元函數積分學部分的內容.

第10周

書面作業

設$u_n>0$, $\forall n\in\Bbb{N}_+$.

(1) 證明以下兩個條件等價：

(P) 存在$N\in\Bbb{N}_+$以及$\lambda>1$, 使得$n\geq N$時, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)>\lambda;$$

(P') 存在$N\in\Bbb{N}_+$以及$r >1$, 使得$n\geq N$時, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)>r.$$

(2) 證明以下兩個條件等價：

(Q) 存在$N\in\Bbb{N}_+$, 使得$n\geq N$時, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)\leq 1;$$

(Q') 存在$N\in\Bbb{N}_+$, 使得$n\geq N$時, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)\leq 1.$$

非書面作業

做完第12章全部習題；
復習一元函數積分學部分的內容，准備期中考試.

第11周

書面作業

證明函數列$\{f_n\}$在數集$D$上不一致收斂的充要條件是: 存在數列$\{x_n\}\subset D$, 使得數列$\{f_n(x_n)-f(x_n)\}$不收斂於0.

非書面作業

做完13.1節習題第1題.

第12周

書面作業

[解答] 設$\{f_n\}$是定義在$[a,+\infty)$上的函數列, 並且
(i) 對任意$n\in \Bbb{N}_+$, 無窮積分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f_n(x){\rm d}x$都收斂;
(ii) $\{f_n\}$在$[a,+\infty)$上內閉一致收斂於$f$;
(iii) 存在定義在$[a,+\infty)$上的非負函數$F$, 滿足無窮積分$\displaystyle \int_a^{+\infty}F(x){\rm d}x$收斂並且

\[|f_n(x)|\leq F(x) ，\quad \forall x\in [a,+\infty),\ \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

證明: 無窮積分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x$也收斂, 並且

\[\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x=\lim_{n\to\infty} \int_a^{+\infty}f_n(x){\rm d}x \]

非書面作業

做第13章所有習題.

第13周

[解答] （證明收斂半徑的存在性) 設冪級數$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂域$D$是有界集, 並且$D$中含有非零的點. 證明: 存在$R\in (0,+\infty)$, 使得
(i) 當$x_0\in (-R,R)$時, 冪級數$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在點$x_0$絕對收斂；
(ii) 當$|x_0|>R$時, 冪級數$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在點$x_0$發散.
(提示: 令$R=\sup\limits_{x\in D}|x|$, 利用冪級數的Abel定理證明這樣定義的$R$符合題目要求.)

非書面作業

做完14.1節習題;
復習上冊第6章Taylor公式的內容, 以及9.5節Taylor公式的積分型余項.

第14周

設函數項級數$\sum\limits_{n=1}^n f_n(t)$的收斂域為區間$D$, 並且在$D$上內閉一致收斂. 若函數$g$在區間$I$上連續, 並且$g(I)\subset D$, 證明: 函數項級數$\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\left(g(x)\right)$在區間$I$上內閉一致收斂.
(提示：若$g\in C[a,b]$, 則根據連續函數的介值性定理的推論可知$g([a,b])$也是閉區間.)

非書面作業

做完14.2節習題;
復習第12章數項級數內容.

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