數學分析學習筆記

xs，選了微積分，學的卻是數分。

如果有寫的不對的地方煩請指正，有些地方簡寫了。

自然數

皮亞諾公理：

• 0 是自然數
• 如果 \(n\) 為自然數，那么 \(S(n)\) 為自然數，\(S(n)\) 為 n 的后繼，亦可以理解為 \(n + 1\)。
• 不存在 \(n \in N, S(n) = 0\)。
• 如果 \(n,m \in N\) 並且 \(S(n) = S(m)\) 那么 \(n = m\)。
• 數學歸納法公理：對於 \(N\) 的子集 \(A\)，如果 \(0\) 屬於集合 A，如果 \(n \in A\)，並且 \(S(n) \in A\)。那么 \(A = N\)。

加法定義：

\[n + m = \begin{cases} n & (m = 0)\\ S(n + m') & (m \neq 0) \end{cases} \]

加法結合律：\((n + m) + k = n + (m + k)\)。

證明：

歸納 \((n + m) + 0 = n + (m + 0) = n + m\)。

若 \((n + m) + k = n + (m + k)\)。

有 \((n + m) + S(k)=S((n + m) + k)=S(n + (m + k))=n + S(m + k)=n +(m + S(k))\)

證畢。

引理：\(0 + n = n\)

證明：歸納法 \(0 + 0 = 0\)。若 \(0 + k = k\)，那么 \(0 + S(k) = S(0 + k) = S(k)\)。

引理：\(S(k) + n =S(k + n)\)

證明：\(S(k) + 0 = S(k + 0) = S(k)\)。

\(S(k) + S(n) = S(S(k) + n)=S(S(k + n))=S(k + S(n))\)。

加法交換律：\(n + m = m + n\)

歸納：\(n + 0 = 0 + n = n\)，若 \(n + k = k + n\)，則 \(n + S(k) = S(k) + n\)。

證明：

\(n + S(k) = S(n + k) = S(k + n) = S(k) + n\)。

加法消去律：\(a + b=b+c \to a=c\)

歸納：\(a + 0 = 0+c\Leftrightarrow a = c\)，\(a+S(k)=S(k)+c\Leftrightarrow S(a + k)=S(k+c)\Leftrightarrow a + k=k+c \Leftrightarrow a=c\)

乘法定義：

\[n \times m = \begin{cases} 0 & (m = 0)\\ n \times m' + n & (m \neq 0) \end{cases} \]

引理：\(a\times 0=0 \times a\)

歸納：\(0 \times0 =0\)，\(0 \times S(k) = 0\times k + 0=0\)。

引理：\(a \times b+b = S(a) \times b\)

歸納：\(b = 0\)，\(a \times S(b) + S(b)=a \times b + a + S(b)=S(a \times b+b)+a=S(a)\times b+S(a)=S(a)\times S(b)\)

乘法交換律：\(ab=ba\)

歸納：\(a \times 0 = 0 \times a\)，\(a \times S(k) = a \times k + a=k \times a + a = S(k) \times a\)

乘法分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)

歸納：\(a \times (b + 0) = ab\)，\(a(b+S(c))=aS(b+c)=a(b+c)+a=ab+ac+a=ab+aS(c)\)

乘法結合律：\((nm)k = n(mk)\)

證明：

\(nm0=n(m0)=0\)，如果 \(nmk=n(mk)\)，那么 \(nmS(k)=n(mS(k))\)。

\(nmS(k)=nmk+nm=n(mk+m)=n(mS(k))\)

定義正整數：\(N \setminus \set 0\)

序：對於兩個自然數 \(n,m\) 定義 \(n > m\) 當且僅當存在正整數 \(k\) 使得 \(m + k = n\)。\(n \ge m\) 存在自然數。

序的性質：

• 自反性 \(a \ge a\)
• 傳遞性 \(a \ge b \ge c\)
• 反對稱性 \(a \ge b,b \ge a \to a=b\)
• 加法不影響序 \(a \ge b \to a + c \ge b + c\)
• 乘法不影響序 \(a > b \and c \neq 0 \to ac > bc\)

都很好證明

定理：對於 \(a,b\) 必有 \(a < b\)，\(a = b\)，\(a > b\) 其中之一成立。

乘法消去律：\(ac=bc \and c \neq 0\to a=b\)。由於 \(a,b\) 之間存在序，乘法保持序不變，所以 \(a = b\)。

帶余除法： 對於自然數 a 和正整數 b 存在 k，r 滿足 \(a = kb +r\quad (b > 0,0 \le r < b)\)

對 n 歸納即可。

整數

形式定義 \(a - b\) 來得到的

有理數

形式定義 \(a / b\) 來得到的。

域

域是一個集合 F，具備加法和乘法兩種運算，滿足：

加法和乘法具有交換律和結合律，分配律，並分別有單位元 0，1，且 \(1 \neq 0\)。

對任意 \(x \in F\)，存在加法逆元 \(-x \in F\)，\(x + (-x)=0\)

對 \(\forall x \in F \setminus \{x\}\)，存在乘法逆元 \(x^{-1} \in F\) 使得 \(x \times x^{-1}=1\)

所以一個域上進行加減乘除

序域

當域撞上序關系。

對於任意 \(x, y \in F\)，\(x \le y, y \le x\) 至少有一個成立。

滿足自反，傳遞，反對稱性。對（正數）乘法和加法保序。

界

設 F 是一個序域，設 A 是 F 的一個子集。

稱 A 有界，如果存在 \(M \in F\) 滿足 \(x \in A \to |x| \le M\)。

上下界不再給出定義，注意空集的界是任意的。

注意：有界代表着有上下界

最值與確界

\(\max \min \sup \inf\) 最大值，最小值，上確界，下確界。

當存在最大值時上確界就等於最大值，所以上確界是最大值不存在時的替代品，比如區間 \((2,3)\) 沒有最大值，但有上確界。

一個例子

\(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\)

結論：有界，無上確界（在 Q 中）。

實數域

公理：任何非空有上界的子集都有上確界的序域。

定理：\(\N\) 在 \(\R\) 中無上界。

證明：若 B 是上界，B - 1 則不是，一定有 \(A \in \N > B - 1\)，那么 \(A + 1 \in N >B\) 矛盾。

上下取整的定義：

\[\lceil x \rceil := \inf \{n \in \Z \mid x \le n\}\\ \lfloor x \rfloor := \sup \{n \in \Z \mid n \le x\}\\ \]

有理數在實數中稠密

對任意實數 a < b，存在有理數 r 使得 a < r < b。

證明想法：將 a，b 在數軸上畫出來，一定存在巨大的自然數 N 使得 \(a,b \in [-N,N]\)。將這個區間划分成 \(2N^2\) 份，每份長度 \(\frac 1N\)，滿足這個長度比 \(b - a\) 要小，這樣假設有個人從左端點開始，每次走一份路，第一次大於 a 的位置，不會大於 \(a + \frac 1N\)，小於 b。形式化的寫一下即可。

無理數在實數中稠密

對任意實數 a < b，存在無理數 r 使得 a < r < b。

因為存在有理數 t 使得 \(a - \sqrt 2<t<b-\sqrt 2\)。令 \(r = t + \sqrt2\) 即可。

確界公理應用：開方

對於正整數 n 和正數 y，存在唯一正數 x 使得 \(x^n=y\)。

證明：

如果存在，肯定唯一，因為是序域。

現在我們來證明存在，在上面我們說了 \(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\) 中是上確界，但有上界。

同理，我們設 \(A = \{x \in R \mid x^n < y\}\)，可以證明它的上確界就是 \(\sqrt[n]{y}\)。具體證明使用放縮法。

一個放縮技巧 (0 < b < 1)：

\[(1+b)^n < 1 + 2^nb\\ (1-b)^n > 1 - 2^nb \]