2021-2022学年第1学期-数学分析1

[本题的解答] 设$q>1$. (以下题目不得使用对数运算)

(1) 证明: 集合

\[S=\{q^k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\} \]
无上界;

(2) 证明: 对任意$\varepsilon>0$, 存在正整数$M$, 使得当$n\in \Bbb{N}_+$并且$n>M$时, 都成立

\[0<\frac{1}{q^n} <\varepsilon; \]
(3) 设$c>0$, 证明: 集合

\[E=\{k\in \Bbb{Z}\ |\ c< q^k \} \]
存在最小值.
(数学写作规范) 观察数学分析教材或者高等代数教材, 回答以下问题：

(1) 教材正文中使用的标点符号是中文标点符号还是英文标点符号？

(2) 输入中文标点后，不需要空格，直接写下一句。输入英文标点(特别是逗号和句号)后, 是否需要空一格再输入下一句话？

非书面作业

自己做完1.1节全部习题和1.2节习题的第1题到第5题；
预习1.3节和1.4节的全部内容；
观看b站视频：极限的严格定义($\varepsilon$-$\delta$ definition)
观看b站视频: 数学分析简史

第6周

书面作业

[本题的解答] 按以下步骤证明指数函数

\[f(x)=a^x,\quad x\in (-\infty,+\infty) \]
的值域是$(0,+\infty)$, 其中$a>1$. 也就是证明, 对任何正数$y>0$, 方程

\[a^x=y \]
都存在实数解.

Step 1. 证明: 存在$m,n\in\Bbb{N}_+$, 使得

\[a^{-n}< y < a^m; \]
Step 2. 若存在实数$x$, 使得$a^x< y$, 则必存在$n\in \Bbb{N}_+$使得

\[a^{x+\frac{1}{n}}< y; \]
Step3. 若存在实数$x$, 使得$a^x>y$, 则必存在$n\in\Bbb{N}_+$使得

\[a^{x-\frac{1}{n}}> y; \]
(提示: 前3步都可利用上一周作业题1(1)的结论来证明.)

Step 4. 利用Step 1的结论证明: 集合

\[S=\{r\in \Bbb{Q}\ | \ a^r<y \} \]
是非空的有上界的集合;

Step 5. 记$x=\sup S$. 结合Step 2和Step 3的结论, 利用反证法证明:

\[a^x=y. \]
(提示: 利用反证法可推导出与"$x$是集合$S$的上确界"矛盾的结论.)
(数学写作规范) 观察数学分析教材或者高等代数教材, 回答以下问题：

(1) 数学式子(特别是在式子输入完毕时)需要使用标点符号吗？

(2) 阅读以下句子, 用红笔标记出其中标点符号的错误或缺失，并改正:

$\Bbb{R}^2$的如下映射$L_v$:

\[(\xi, \tau)=L_v (x,t) \]

其中$v$是一个满足要求$0\leq v < c$的实数, $c$表示光速.

根据图像可知, 函数

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1,&\quad x\in [-1,0)\\ 2x-2,&\quad x\in [0,1] \end{array} \right.\]

不是区间$[-1,1]$上的增函数。

非书面作业

做完本章全部习题

第7周

书面作业

[本题解答] 按照数列极限的$\epsilon-N$定义验证极限等式

\[\lim_{n\to \infty} \dfrac{n^k}{a^n}=0, \]
其中$k\in \Bbb{N}_+$, $a>1$.

(提示设$a=1+h$, 其中$h>0$. 对分母$(1+h)^n$利用二项式展开，在$n>k$的前提下, 分母只保留$C_n^{k+1}h^{k+1}$, 再估计$\frac{n^k}{C_n^{k+1}}$.)
(数学写作规范) 用红笔标出下图中的标点符号缺失或错误的地方，并修改.

来源: 学生提交的课程论文

非书面作业

做完2.1节全部习题和2.2节除了Ex6, Ex7的全部习题.

第8周

书面作业

[本题解答] 设$a\in \Bbb{R}$, $\delta>0$, 证明:

(1) 在$a$的去心左邻域$U_-^0(a;\delta)=(a-\delta,a)$内存在严格递增的有理数列$\{r_n\}$, 满足

\[\lim_{n\to \infty}r_n=a; \]
(2) 在在$a$的去心右邻域$U_+^0(a;\delta)=(a,a+\delta)$内存在严格递减的无理数列$\{s_n\}$, 满足

\[\lim_{n\to \infty}s_n=a. \]

(提示参考2.3节例3的证明过程, 结合有理数和无理数在实数集中的稠密性.)

(数学写作规范) 重新排版下图里的内容, 要求:

(1) 让读者一眼就能看出哪部分是题干, 哪部分是解答;

(2) 思考是否在需要的地方进行分段, 分段是否要在段首缩进两个字;

(3) 改正其中的标点符号错误和几处错误断行;

(4) 重新对数学公式进行编号, 删除其中冗余的公式编号, 只保留需要的公式编号.

来源: 学生提交的毕业论文

非书面作业

做完第2章全部习题;
阅读Halmos的自传《我要作数学家》前3章.

第9周

书面作业

[本题解答] 设

(i) $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A$, 并且存在$a\in \Bbb{R}$, 使得当$x>a$时, 总有
$$f(x)>A;$$

(ii) $\lim\limits_{t\to A^+} g(t)=B$,

其中$A,B\in \Bbb{R}$. 证明:

\[\lim_{x\to +\infty} g(f(x))=B. \]

(数学写作规范) 列出所有24个希腊字母的大小写及英文名称.

非书面作业

做完3.1，3.2节习题, 3.4节Ex1~Ex3, 第三章总练习题Ex1.
阅读ukim于2002年在北大未名bbs连载的数学家的故事——Heroes in My Heart.

第10周

书面作业

[本题解答] 设函数$f$, $g$和$h$在点$x_0$的某去心邻域$U^\circ\left(x_0;\delta_0\right)$上有定义, 并且

\[f(x) \leq h(x)\leq g(x),\quad \forall x\in U^\circ\left(x_0;\delta_0\right). \]
(1) 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$, 结合正无穷大量的定义证明: $\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=+\infty$;

(2) 若$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=-\infty$, 结合负无穷大量的定义证明: $\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=-\infty$;

(3) 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$并且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty$, 是否成立$\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=\infty$？若成立, 证明该结论; 若不成立, 给出具体的反例.

非书面作业

做完第3章全部习题.

第11周

书面作业

[本题解答 ]设函数$f:[a,b]\to [a,b]$, 并且存在$q\in (0,1)$使得

\[|f(x)-f(y)|\leq q|x-y|,\quad \forall x,y\in [a,b]. \]

证明:

(1) 任取$x_0\in [a,b]$, 作迭代数列$x_n=f(x_{n-1})$, $n\in \Bbb{N}_+$, 则$\{x_n\}$收敛于$[a,b]$中某点$x^*$; (提示: 先利用条件和数学归纳法考察$|x_{n+1}-x_n|$与$|x_1-x_0|$的关系, 再证明$\{x_n\}$满足Cauchy条件.)

(2) $x^*$是$f$在$[a,b]$中唯一的不动点. (提示: 需要证明并利用$f$的连续性.)

非书面作业

做完4.1节习题和4.2节第1到第10题.

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