實數完備性的幾個定理可以互相推導，這里給出了一個比較簡單的完整推導鏈條
對於沒有寫到的推導可以通過旁敲側擊推導出這里的條件再繼續（迂回戰術）
1. 有界必有確界
如果\(\exists u\)使得\(\forall x\in S\)都有\(x\le u\),那么\(S\)有上確界
上確界：記\(U=\sup\left\{S\right\}\)，則\(\forall x\in S\)都有\(x\le U\)，且\(\forall \epsilon>0\)，\(\exists x_0\in S\)使得\(x_0>U-\epsilon\)
用有限區間覆蓋證明
\(S\)存在最大值的情況非常顯然，它的上確界就是最大值；后文只討論\(S\)不存在最大值的情況
反證法，假設\(S\)有界而沒有上確界，記\(S\)上界的集合為\(\overline U\)
則可以取\(S\)中的一個元素\(L\)，\(\overline U\)中的一個元素\(R\)，得到一個閉區間\(\left[L,R\right]\)
考慮\(x\in [L,R]\)，分成如下幾種情況：
- \(x\in\overline U\)
- \(x\in S\)
- \(x\not\in S\)且\(x\not\in\overline U\)
對於情況1,由假設我們一定可以找到\(x'\in\overline U\)且\(x'< x\)，使得\(x'\)也是一個上界
此時我們為點\(x\)造一個開區間\(\left(x',2x-x'\right)\)，這個區間內的點都是\(S\)的上界
對於情況2,由\(S\)不存在最大值可知我們一定能找到\(x'\in S\)且\(x'>x\)
此時我們為點x造一個開區間\(\left(2x-x',x'\right)\)，這個區間內的點都不是\(S\)的上界
對於情況3,由x不是上界可知，必存在一個\(x' \in S\)使得 $x < x' $，此時情況同2
於是我們為閉區間內的每一個點都配了一個開區間，這個開區間的集合覆蓋了閉區間內的每一個點，由有限覆蓋定理可知存在有限個開區間覆蓋了\([L,R]\)
引理1:開覆蓋中相鄰兩個開區間必相交
證明：假設存在不相交的開覆蓋，則存在點未被覆蓋，矛盾
由引理1可知\([L,R]\)上的開覆蓋一定是環環相套的，從左起每一個開區間內的點都不是上界，從右起每一個開區間內的點都是上界，則可以推得中間存在一個開區間同時滿足這兩種情況(這是不可能的)，推得矛盾。於是原命題成立
2. 單調有界收斂
若數列\(\left\{a_n\right\}\)單調遞增且有上界，則該數列收斂(存在極限)
用確界存在證明
有上界必有上確界，記\(U=\sup\left\{a_n\right\}\)，則根據定義有\(\forall n\left(U\ge a_n\right)\)且\(\forall \epsilon>0,\exists n_0\)，有\(U-\epsilon < a_{n_0}\)
又\(\left\{a_n\right\}\)遞增，於是取\(N=n_0\)，當\(n\ge N\)，有\(U-\epsilon < a_{n_0}\le a_n \le U < U+\epsilon\)，這個就是數列收斂的定義，且恰好收斂於\(U\)
3. 閉區間套
考慮一個初始閉區間\([L_0,R_0]\)，我們取一系列閉區間\([L_1,R_1],[L_2,R_2],\dots\)滿足\([L_1,R_1]\subset[L_2,R_2]\subset\dots\)
且有\(\lim\limits_{i\rightarrow +\infty}{\left(R_i-L_i\right)}=0\)
則\(\cap{[L_i,R_i]}=\xi\)，收斂於一個點
用單調有界收斂證明
由第一個條件可知，\(\left\{L_n\right\}\)單調遞增，且有上界\(R_0\)，於是數列收斂
同理\(\left\{R_n\right\}\)也收斂，下面證明兩個極限相等。
反證法：假設左右極限不相等，則\(\cap[L_i,R_i]=[\sup\left\{L_n\right\},\inf\left\{R_n\right\}]\)，與條件2矛盾，故假設不成立
然后就做完了
4. 聚點
無窮項有界數列必有收斂子數列
用閉區間套證明
因為有界，必可以找到上下界，記值域區間為\([L_0,R_0]\)
取中點\(M=\frac{L_0+R_0}{2}\)，則左右兩個區間中，必存在至少一個區間包含了數列的無限項，記這個新的區間為\([L_1,R_1]\)
重復上述過程，則我們構造出了一個閉區間套，由閉區間套定理可知這個區間會收斂到一個點\(\xi\)上，那么每次任意取\(x_i\in[L_i,R_i]\)就可以得到一個收斂的子數列
5. 有限覆蓋
考慮一個由若干開區間構成的集合\(I\)，若\([L,R]\subset\cup I\)，則一定可以從\(I\)中取出有限個開區間覆蓋整個閉區間\([L,R]\)
用閉區間套證明
反證法：假設不能用有限個開區間覆蓋\([L,R]\)，則取\(M=\frac{L+R}{2}\)，左右兩半至少有一個閉區間被無限個開區間覆蓋
反復上述操作，則我們構造了一個閉區間套。且這個閉區間的長度可以任意小。而開區間集合中任意一個覆蓋了\(\xi\)的開區間長度都確定，得到矛盾，故假設不成立
6. 柯西收斂
數列收斂的充要條件是
\(\forall \epsilon > 0\)，\(\exists N\)，\(\forall x,y\ge N\)都有\(|a_x-a_y|\le \epsilon\)
可以發現這個判別法則和具體的極限無關，只關心數列本身的性質
用聚點證明
必要性比較簡單，這里只證明充分性
先證明柯西數列有界。取\(\epsilon=1\)，則\(\max\left\{a_1,a_2,\dots,a_{N_{\epsilon}},a_{N_{\epsilon}}+1\right\}\)是數列的一個上界，下界同理
有界數列必有收斂子數列，記子數列為\(a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\)，其極限為\(A\)，
則\(\forall \epsilon >0\), \(\exists K >0\)，當\(k> K\)時\(|a_{n_k}-A|\le \epsilon\)
根據定義，取\(N'=\max\left\{n_K,N\right\}\)，令\(x=N'\)，則\(\forall y> N'\)都有\(|a_y-A|=|a_y-a_x+a_x-A|\le|a_y-a_x|+|a_x-A|\le2\epsilon\)