數學 - 數學分析 - III.1 連續性

III.1 連續性

經驗表明，即使一個函數通常非常復雜且難以描述，在實際應用中的函數一般存在一些重要的定性性質。這些性質中的其中一個便是連續性。對於一個函數 \(f:X\to Y\)，連續性度量了值域 \(f(X) \subseteq Y\) 中的微小變化是如何由定義域 \(X\) 中的微小變化引起的。為使得這有意義，集合 \(X\) 與 \(Y\) 必須賦予一些額外的結構以便給出“微小變化”的精確意義。顯然度量空間是一個帶有這種結構的合適的集合。

主要的性質與例子

定義 連續性

令 \(f: X \to Y\) 是一個度量空間 \((X,d_X)\) 與 \((Y,d_Y)\) 之間的映射，稱 \(f\) 在 \(x_0 \in X\) 連續，如果對每一個 \(f(x_0) \in Y\) 的鄰域 \(V\)，都存在 \(x_0\) 的一個鄰域 \(U\) 使得 \(f(U) \subseteq V\)。

稱映射 \(f: X \to Y\) 是連續的，若它在 \(X\) 中的每一點都連續。如果一點 \(x_0 \in X\)，\(f\) 在 \(x_0\) 不連續，則稱映射 \(f\) 不連續。從 \(X\) 到 \(Y\) 的所有連續函數構成一個集合，記為 \(C(X,Y)\)，顯然 \(C(X,Y)\) 是 \(Y^X\) 的子集。

有定義可知，要證明 \(f\) 在 \(x_0\) 的連續性，需要先假設 \(f(x_0)\) 的一個任意的鄰域 \(V\) 給定，然后說明存在 \(x_0\) 的鄰域 \(U\) 使得 \(f(U) \subseteq V\)，即 \(f(x) \in V,\forall x \in U\)。

連續性的定義用了鄰域的概念，實際應用中更經常使用的是下面的等價刻畫。

1.1 Proposition

函數 \(f: X \to Y\) 在 \(x_0 \in X\) 連續當且僅當對任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta := \delta(x_0,\varepsilon) > 0\) 使得下式成立

\[d(f(x_0), f(x)) < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad (d(x_0,x) < \delta) \tag{1.1} \]

1.2 Corollary

令 \(E\) 和 \(F\) 是賦范線性空間，\(X \subseteq E\)，則 \(f : X \to F\) 在 \(x_0 \in X\) 上連續當且僅當對任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta:=\delta(x_0,\varepsilon) > 0\) 滿足

\[\|f(x) - f(x_0)\|_F < \varepsilon, \quad \forall x \in X \quad \|x - x_0\|_E < \delta \]

證明： 可直接由賦范線性空間中的度量的定義證得。證畢。

1.3 Examples

在下面的例子中，\(X\) 和 \(Y\) 都是度量空間。

(a) 平方根函數 \(\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+, \quad x \mapsto \sqrt{x}\) 是連續的。

(b) 下取整函數 \(\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \lfloor x \rfloor := \max \{k \in \mathbb{Z} \, ; \, k \le x\}\) 在 \(x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\) 上連續，在 \(x_0 \in \mathbb{Z}\) 不連續。

(c) 狄利克雷函數 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 定義如下

\[f(x) := \left\{ \begin{align*} & 1, \quad x \in \mathbb{Q} \\ & 0, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{align*} \right. \]

函數對每一個 \(x_0 \in \mathbb{R}\) 都不連續。

(d) 假設 \(f : X \to \mathbb{R}\) 在 \(x_0 \in X\) 連續，且 \(f(x_0) > 0\)，則存在 \(x_0\) 的一個鄰域 \(U\) 使得對所有 \(x \in U\) 有 \(f(x)>0\)。

(e) 稱函數 \(f:X \to Y\) 是以李普希茲常數 \(\alpha > 0\) 李普希茲連續當且僅當

\[d(f(x),f(y)) \le \alpha d(x,y), \quad x,y \in X \]

則李普希茲連續函數必定是連續函數（逆命題不成立）。

證明：

證畢。

(f) 任一常數函數 \(X \to Y,x \mapsto x_0\) 是李普希茲連續的。

(g) 恆等映射 \(\text{id} : X \to X, \quad x \mapsto x\) 是李普希茲連續的。

(h) 令 \(E_1,\cdots,E_m\) 是賦范線性空間，則 \(E:=E_1 \times \cdots \times E_m\) 是一個賦范線性空間，其上定義如 Examples II.3.3(c) 所示的乘積范數 \(\|\cdot\|_{\infty}\)。給出正則投影

\[\text{\r}_k : E \to E_k, \quad x = (x_1,\cdots,x_m) \mapsto x_k, \quad 1 \le k \le m \]

可證明上式的正則投影是李普希茲連續的。特別地，投影 \(\text{pr}_k : \mathbb{K}^m \to \mathbb{K}\) 是李普希茲連續的。

證明：

證畢。

(i) 對每一個這樣形式的函數 \(z \mapsto \text{Re} (z)\)，\(z \mapsto \text{Im}(z)\) 和 \(z \mapsto \overline{z}\) 都在 \(\mathbb{C}\) 上是李普希茲連續的。

(j) 令 \(E\) 是賦范線性空間，則范數映射

\[\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|x\| \]

是李普希茲連續的。

(k) 如果 \(A \subseteq X\) 且 \(f : X \to Y\) 在 \(x_0 \in A\) 連續，則限制映射 \(f|A : A \to Y\) 在 \(x_0\) 連續，這里的 \(A\) 是由 \(X\) 誘導的度量空間。

(I) 令 \(M \subseteq X\) 是 \(X\) 的一個非空子集，對任意 \(x \in X\)，記 \(x\) 到 \(M\) 的距離為

\[d(x,M) := \inf_{m \in M} d(x,m) \]

距離函數

\[d(\cdot,M) := X \to \mathbb{R}, \quad x \to d(x,M) \]

是李普希茲連續的。

證明：

證畢。

(m) 對任一個內積空間 \((E,(\cdot|\cdot))\)，內積 \((\cdot|\cdot) : E \times E \to \mathbb{K}\) 是連續的。

證明：

證畢。

(n) 令 \(E\) 和 \(F\) 是賦范線性空間，\(X \subseteq E\)，則函數 \(f:X \to F\) 在 \(x_0 \in X\) 的連續性不依賴於在 \(E\) 和在 \(F\) 上的等價范數的選擇。

(o) 在度量空間 \(X\) 與 \(Y\) 之間的函數 \(f\) 被稱為等距映射當且僅當 \(d(f(x),f(x')) = d(x,x')\) 對所有 \(x,x' \in X\) 成立，即是說，\(f\) 在度量空間 \(X\) 與 \(Y\) 之間“保持距離”。 顯然，這樣的函數是李普希茲連續的，且是 \(X\) 到它的像集 \(f(X)\) 的雙射。

如果 \(E\) 和 \(F\) 都是賦范線性空間，且 \(T:E\to F\) 是線性映射，則 \(T\) 是等距映射當且僅當對所有的 \(x \in E\) 有 \(\|Tx\| = \|x\|\)。另外，若 \(T\) 是一個滿射，則 \(T\) 是從 \(E\) 到 \(F\) 的等距同構，且 \(T^{-1}\) 也是等距映射。

序列連續性

鄰域的概念是連續性定義和序列收斂定義的核心，這表明了一個函數的連續性能夠用序列進行定義。

定義 序列收斂

度量空間 \(X\) 與 \(Y\) 之間的映射 \(f:X \to Y\) 被稱為在 \(x \in X\) 序列連續，如果對任一 \(X\) 中的序列 \((x_k)\) 使得 \(\lim x_k = x\)，我們有 \(f(x_k) = f(x)\)。

1.4 Theorem

令 \(X\) 和 \(Y\) 是度量空間，則映射 \(f : X \to Y\) 在 \(x \in X\) 連續當且僅當它在 \(x\) 點序列連續。

證明：

證畢。

連續函數的加法與乘法

Theorem 1.4 使得將關於收斂序列的一些定理應用到連續函數上成為可能。在做之前，我們介紹一些定義。

令 \(M\) 是一個任意的集合，\(F\) 是一個線性空間，令 \(f\) 和 \(g\) 是函數，且 \(\text{dom}(f),\text{dom}(g) \subseteq M\)，並在 \(F\) 上取值。則函數 \(f\) 與 \(g\) 的和函數 \(f + g\) 定義為

\[f+g : \text{dom}(f + g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g) \to F, \quad x \mapsto f(x) + g(x) \]

類似地，對 \(\lambda \in \mathbb{K}\)，我們定義函數 \(\lambda f\)

\[\lambda f : \text{dom}(f) \to F, \quad x \mapsto \lambda f(x) \]

最后，若特別地有 \(F=\mathbb{K}\)，我們定義

\[\text{dom}(f \cdot g) := \text{dom}(f) \cap \text{dom} (g) \]

\[\text{dom}(f/g) := \text{dom}(f) \cap \{x \in \text{dom}(g) \, ; \, g(x) \neq 0\} \]

由此定義函數 \(f\) 與 \(g\) 的乘與除

\[f \cdot g: \text{dom} (f \cdot g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x) \cdot g(x) \]

\[f/g : \text{dom}(f/g) \to \mathbb{K}, \quad x \mapsto f(x)/g(x) \]

1.5 Proposition

設 \(X\) 是一個度量空間，\(F\) 是一個賦范線性空間，函數

\[f:\text{dom}(f) \subseteq X \to F, \quad g:\text{dom}(g) \subseteq X \to F \]

在 \(x_0 \in \text{dom} (f) \cap \text{dom}(g)\) 連續。

• \(f+g\) 和 \(\lambda f\) 在點 \(x_0\) 連續。

• 若 \(F = \mathbb{K}\)，則 $f \cdot g $ 在點 \(x_0\) 連續。

• 若 \(F = \mathbb{K}\) 且 \(g(x_0) \neq 0\)，則 \(f/g\) 在點 \(x_0\) 連續。

1.6 Corollary

(1) 有理函數是連續的。

(2) \(n\) 個變量的多項式是連續的（在 \(\mathbb{K}^n\)）中。

(3) \(C(X,F)\) 是 \(F^X\) 的子空間，也即從 \(X\) 到 \(F\) 連續函數構成一個線性空間。

1.7 Proposition

令 \(a = \sum a_k X^K\)

1.8 Theorem

令 \(X\)，\(Y\) 和 \(Z\) 是度量空間，設 \(f : X \to Y\) 在 \(x \in X\) 連續，且 \(g : Y \to Z\) 在 \(f(x) \in Y\) 連續，則復合 \(g \circ f : X \to Z\) 在 \(x\) 連續。

證明：

證畢。

1.9 Examples

令 \(X\) 是一個度量空間，\(E\) 是一個賦范線性空間。

(a) 令 \(f:X \to E\) 在點 \(x_0\) 連續，則函數 \(f\) 范數

\[\|f\| : X \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \|f(x)\| \]

在點 \(x_0\) 連續。

(b) 令函數 \(g:\mathbb{R} \to X\) 連續，則函數 \(\hat{g} : E \to X, \quad x \mapsto g(\|x\|)\) 連續。

(c)