數學分析(2): 有限覆蓋定理和一致連續定理

一致連續定理

一致連續定義

設函數 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上有定義，如果，\(\forall \epsilon > 0, \exist \delta >0\)，使得對於在區間 \(I\) 上的任意兩點 \(x_1, x_2\)，當 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 時，恆有 \(|f(x_1) - f(x_2)|<\epsilon\)，則稱函數 \(f(x)\) 在區間 \(I\) 上一致連續

參數 \(\delta\) 僅與 \(\epsilon\) 有關，與所選取的任意兩點 \(x_1, x_2\) 無關，即 \(\delta = \delta(\epsilon)\)

連續但不一致連續

\[f(x) = \dfrac{1}{x}, ~~x>0 \]

連續性：

\(\forall \epsilon > 0, \forall x > 0,\) 要 \(|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{(x+\delta)}| < \epsilon\), 只需

\[\begin{cases} -\epsilon < \dfrac{\delta}{x(x+\delta)} < \epsilon & \to \dfrac{1}{x} - \epsilon < \dfrac{1}{x+\delta} < \dfrac{1}{x} + \epsilon\\ x+\delta > 0 \end{cases} \]

不一致連續：

對任意 \(\epsilon, x_1, \delta\) 滿足

\[\dfrac{\delta}{x_1(x_1+\delta)} < \epsilon \]

只需將 \(x_1\) 取小，即可使不等式不恆成立，故不一致連續

有限覆蓋

開覆蓋：

設 \(S\) 為 \(R_n\) 上的點集，如果 \(R_n\) 中的一組開集 \(A={U_α：α∈A}\) 滿足 \(\{~U_α\) 的並 \(\} ⊇ S\)，那么稱集族 \({U_α}\) 為 \(S\) 的一個開覆蓋
而被覆蓋區域中任意一點 \(P\) 都能找到在開覆蓋中找到一個集合 \(S\) 使得 \(P∈S\)

有限覆蓋定理：

設 \(H\) 是閉區間 \([a,b]\) 的一個（無限）開覆蓋，則必可以從 \(H\) 中選擇有限個開區間來覆蓋 \([a,b]\)

有界開集反例

為了說明 \((0, 1)\) 不一定能被有限覆蓋，只需要找到它的一個開覆蓋，其中每個開集缺一不可

為了找到這樣一個開覆蓋，我們可以以這樣的思路構造：其中的每個開集都有一個點只有它有，或者一段區間只有它有

\[A = \{(a_i, \dfrac{2}{\pi}\arctan i)~|~i = 1,2,..\land a_1 = 0 \land a_{i+1} = \dfrac{2}{\pi}\arctan i\} \]

選 \(\dfrac{2}{\pi}\arctan\) 的原因是要找到一個單增且收斂的函數，使得隨着 \(i\) 的遞增，這個函數收斂到 \(1\)

通過 \(A\) 可以構造出一個集合簇 \(B\)

\[B = \{(a_i, a_{i+2})~|~i = 1, 2,..\} \]

這樣，因為 \(A\) 中區間兩兩不相交，可知點 \(a_{i+1}\) 僅僅 \(\in (a_i, a_{i+2})\)，開覆蓋 \(B\) 即為所求

另一個構造思路

\[B = \{(\dfrac{1}{n}, 1- \dfrac{1}{n})~|~i = 3, 4, ..\} \]

這個構造更純粹地說明了開集和閉集的區別

去掉有限個區間，還剩無窮個區間

有限覆蓋定理證明

證明： 反證，設 \([a, b]\) 不能被有限覆蓋

二分 \([a, b]\) 得到 \([a_1, b_1]\) 和 \([a_2, b_2]\)，這兩個區間至少有一個不能被有限覆蓋

這樣得到一個閉區間套 \(\{[a_n, b_n]\}\)，最終逼近一個實數 \(c\)，由開覆蓋定義可知，對任意開覆蓋 \(A\)，必存在 \(S\in A\)，使得 \(c\in S\)

\(S\) 是開集，所以 \(c\) 是 \(S\) 的一個內點，那么必存在 \(N\) 使得 \(\forall n > N, [a_n, b_n] \sub S\)，於是 \([a_n, b_n]\) 被有限覆蓋，矛盾

一致連續定理

閉區間上的連續函數必一致連續

教材上是用致密性定理反證，這里用有限覆蓋構造 δ

若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上連續，對於給定 \(\epsilon\), 需要求得一個 \(\delta\) 使得 \(\forall x_1, x_2\) 滿足 \(x_2 - x_1 < \delta\) 且 \(x_2 > x_1\) 有

\[-\epsilon < f(x_2) - f(x_1) < \epsilon \]

由於 \(f\) 在 \([a, b]\) 上連續，故 \(\forall x \in [a, b]\)，存在 \(U(x, \delta_x)\) 使得 \(\forall x' \in U(x, \delta_x)\) 有

\[|f(x') - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2} \]

故若 \(x_1, x_2 \in U(x, \delta_x)\)，則

\[\begin{aligned} |f(x_1) - f(x_2)| \le& |f(x_1) - f(x)| + |f(x_2) - f(x)| \\ <& \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{aligned} \tag{1} \]

因此我們只需要保證任意的 \(x_1, x_2\) 滿足題意總能落在某個點的鄰域中

存在開覆蓋 \(\{(x-\dfrac{\delta_x}{2}, x+ \dfrac{\delta_x}{2})~|~x\in [a, b]\}\)

由有限覆蓋定理，存在子有限開覆蓋 \(\{(x_k-\dfrac{\delta_{x_k}}{2}, x_k+ \dfrac{\delta_{x_k}}{2})~|~k = 1, 2, .., m\}\)

注意，這里必須要取有限開覆蓋，才能取最小值
否則不一定取到一個實數，如 min({1/n})

取 \(\delta = \min(\delta_{x_k})\)，接下來證明 \(x_1, x_2\) 總是能落到同一個鄰域 \(U(x, 2\delta)\) 中

由開覆蓋定義，存在鄰域使得 \(x_1 \in U(x, \delta)\)

因為 \(|x_1 - x_2| < \delta\), 所以 \(x_2 \in U(x, 2\delta)\)

於是由 \((1)\) 可知 \(f\) 在 \([a, b]\) 上一致連續

一致連續的序列表述

\(E\) 是 \(\R\) 的子集，\(f\) 在 \(E\)上有定義，\(f\) 在 \(E\) 一致連續的充要條件是對任意滿足 \(\lim (x_n - y_n) = 0\) 的序列 \(\{x_n\}\sub E\) 和 \(\{y_n\}\sub E\)，都有

\[\lim (f(x_n) - f(x_y)) = 0 \]

我還沒看致密性原理，看完再回來看看這個