\(設f(x)是[a,b]上連續函數，則f(x)在[a,b]上必然一致連續\\\)
\(證明：因為f(x)在[a,b]上連續，所以任取[a,b]內一點x_{0}，任給\frac{\epsilon}{2}>0\)
\(\exists\delta(x_{0})>0,對於任何x\in[a,b]，且異於x_{0}，若|x-x_{0}|<\delta，有|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon\)
\(因為這個\delta與x_{0}的選取有關，對於同一個\epsilon,不同位置的點，其對應的\delta不同\)
\(設frac{\delta_{x}}{2}對應的鄰域為U(x,frac{delta(x)}{2})\)
\(設[a,b]上所有點的鄰域集合為I={U(x,\frac{\delta}{2}),x\in[a,b]}\)
\(則I構成對區間[a,b]的完全開覆蓋\)
\(因為[a,b]是閉區間，所以，根據有限開覆蓋原理，在I內，存在有限個開覆蓋，可以完全覆蓋[a,b]\)
\(設這個有限覆蓋組成的集合為M=\{U(x_{k},\frac{\delta}{2}),k \in N^+,x_{k}\in[a,b]\}\)
\(\forall x_{1},x_{2}\in[a,b],設|x_{1}-x_{2}|<\frac{\delta}{2}\)
\(因為M完全覆蓋[a,b],所以x_{1}必屬於某點x_{k}的鄰域U(x_{k},\frac{delta}{2})\cap[a,b],\)
\(因此，|x_{1}-x_{k}|<\frac{\delta}{2}\)
\(|x_{2}-x_{k}|<|x_{2}-x_{1}|+|x_{1}-x_{l}|=\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta\)
\(因為x_{1},x_{2}均在x_{k}的鄰域U(x_{k},\delta)內，由函數的連續性，可知|f(x_{1})-f(x_{k})|<\frac{\epsilon}{2}，|f(x_{2})-f(x_{k})|<\frac{\epsilon}{2}\)
\(可得：|f(x_{1})-f(x_{2})|<|f(x_{1})-f(x_{k})|+|f_x{2}-f_x{k}|=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)
\(即\forall\epsilon>0,存在\frac{\delta}{2},若x_{1},x_{2}\in [a,b],且|x_{1}-x_{2}|<\frac{\delta}{2}\)
\(則\quad |f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon\)
證畢
\(說明，只要給定\epsilon,則對應的\delta即確定，任何[a,b]內距離小於\delta的兩點，其函數差必然<\epsilon\)
\(與這兩點位置無關，僅與兩點距離有關\)
\(只有閉區間才能使用有限覆蓋\)
下圖是知乎網友提供的課本證明https://www.zhihu.com/question/56393706
其中的k,應為R
