只證上界存在，下界同理。
【證明】
反證法，假設f(x)在閉區間[a,b]上連續，假設沒有上界
\(則\forall n\in N,\exists x_{n}\in [a,b],\)
\(有f(x_{n})>n\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)\)
\(因為x_{n}\in[a,b]，故x_{n}有界\)
\(故，可從中取出一個收斂子列，記為x_{n_{k}}，由(1)式有f(x_{n_{k}})>n_{k}\)
\(lim_{n_{n_{k}}\to\infty}f(x_{n_{k}})=+\infty\quad\quad(2)\)
\(因為lim_{n_{k}\to\infty}x_{n_{k}}=x_{0}\)
\(所以,根據連續函數定義，可得：lim_{n_{k}\to\infty}f(x_{n_{k}})=f(x_{0})\)
\(與(2)式矛盾\)
\(證畢\)
\(下界同理\)
【注意】
\(如果是開區間，則有的函數有界，例如y=x,在開區間(0,1)上連續，且有界\)
\(但是f(x)=\frac{1}{x}在開區間(0,1)連續，但是無界，當x\to 0時,f(x)\to+\infty\)