閉區間上的連續函數，一定是一致連續的證明,中科大列緊性證明版

有兩種方法，常見的證明方法是有限覆蓋定理。
這里是參考中科大數分教材的證明方法，做了修改。
中科大是反證法利用構造子列的列緊性定理
\(\\\)
【中科大反證法】課本106頁
定理：設f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上一致連續。
證明：用反證法。
\(假設f(x)不一致連續，那么\exists\epsilon,\forall n\in N^+\)
\(\exists 兩個點S_{n},t_{n} \in [a,b],有|S_{n}-t_{n}|<\frac{1}{n},\)
\(且|f(S_{n})-f(t_{n})|>\epsilon\quad\quad\quad(1)\)
\(\because \{S_{n}\in [a,b] \}\)
\(\therefore 由列緊性定理，任何有界數列，存在一個收斂子列{S_{k_{n}}}\)
\(有\quad S_{k_{n}}->S^*\in [a,b]\)
\(可得：|t_{k_{n}}-s^*|\leqslant|t_{k_{n}}-S_{k_{n}}|+|S_{k_{n}}-S^*|\)
\(\quad\quad\quad<\frac{1}{k_{n}}+|S_{k_{n}}-S^*|<\frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|\)
\(由數列極限的夾逼定理，得到\)
\(0\leqslant lim_{n \to \infty}|t_{k_{n}}-s^*|\leqslant \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|=0\)
\(可知 lim_{n\to\infty}t_{k_{n}}=0\)
\(即：t_{k_{n}}跟S_{k_{n}}有相同極限S^*\)
\(由(1)式，可知，\forall n\in N^+,有|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|\geqslant\epsilon\quad\quad\quad(2)\)
\(由函數的連續性，可得：lim_{n\to\infty}f(S_{k_{n}})=lim_{n\to\infty}f(S^*)\)
\(即S_{k_{n}}趨於S^*時，f(S_{k_{n}})趨於f(S^*),這是根據函數連續性\)
\(同理，lim_{n\to\infty}f(t_{k_{n}})=lim_{n\to\infty}f(S^*)\)
\(對(2)式兩側取極限，左側為lim_{n\to\infty}|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|=|lim_{n\to\infty}f(S_{k_{n}})-lim_{n\to\infty}f(t_{k_{n}})|-----極限符號和絕對值的互換前提是各項極限存在，可以自己手工證明，\\\)
\(分大於等於零和小於零的情況，極限和絕對值順序交換的結果是一致的\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=|lim_{n\to\infty}f(S^*)-lim_{n\to\infty}f(S^*)|=0\)
\(右側為>\epsilon\),矛盾
證畢
\(\\\)
\(說明：如果題設條件是開區間(a,b)，則S_{k_{n}}與t_{k_{n}}的極限S^*不一定在此區間內，\)
\(如果在區間以外，則該極限點，沒有函數定義f(S^*),例如f(x)=\frac{1}{x},如果極限點是0，f(x)在x點沒有定義\)