數列柯西收斂准則的子列收斂證明法(取自中科大數分教材)

中科大的證法是利用子列收斂，華東師范大學是利用構造一個數列
【數列的柯西收斂准則】
\(數列a_{n}收斂的充要條件是,若\forall \epsilon>0,\exists N,\forall m,n>N，\)
\(有|a_{n}-a_{m}|<\epsilon\\\)
\(【說明】其含義是，數列a_{n}隨着n趨於無窮，各項彼此越靠越近，越往后越近，任給一個任意小的整數，\)
\(都能從某項之后，任意兩項之間的距離，或者說差的絕對值，都小於這個給定的任意小的數。\)
\(也就是，從某項之后，即使距離最大的兩項，其距離差，都小於給定的任意小的數\\\)
\(【證明】\)
\(先證明充分性\)
\(設\forall \epsilon>0,\exists N, 當m,n>N時，有|a_{m}-a_{n}|<\epsilon\)
\(即-\epsilon<a_{m}-a_{n}<\epsilon\)
\(a_{n}-\epsilon<a_{m}<a_{n}+\epsilon\)
\(取\epsilon=1,則a_{n}-1<a_{m}<a_{n}+1\)
\(因為n是大於N的任意的正整數，a_{m}是一個定值，所以\forall n，都有a_{m}-1<a_{n}<a_{m}+1\)
\(故{a_{n}}有上下界，即有界\)
\(因為{a_{n}}是有界數列，有界數列必有收斂子列\)
\(設其一個收斂子列為{a_{n_{k}}},設lim_{n\to\infty}=a\)
\(則\forall\epsilon,\exists N,當n>N_{0}時，有|a_{n}-a|<\frac{epsilon}{2}\)
\(同時，根據題設，\exists N_{1},當m,n>N_{1}時，有|a_{n}-a_{m}|<\epsilon\)
\(設N_{2}=max\{N_{0},N_{1}\},則當m,n>N_{2}時，\)
\(|a_{m}-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)
\(|a_{m}-a|=|a_{m}+a_{n}-a_{n}-a|\)
\(\leqslant |a_{m}-a|+|a_{n}-a|\)
\(\leqslant \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)
\(即， \forall \epsilon>0,當m>N_{2}，則|a_{m}-a|<\epsilon\)
\(即，lim_{n\to\infty}a_{m}=a\)
證畢
\(\\\)
下面證明必要性
\(設lim_{n\to \infty}a_{n}=a\)
\(\forall frac{\epsilon}{2}>0,\exists N,當m,n>N時，有\)
\(|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2},|a_{n}-a|<\frac{\epsilon}{2},\)
\(\forall m>N\)
\(|a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-a+a-a_{n}|\)
\(\leqslant|a_{m}-a|+|a_{n}-a|\)
\(\leqslant\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\)
\(=\epsilon\)