今天 （2021-09-18） 在 數學吧 看到 一個 帖 《這一題該怎么證明？》 https://tieba.baidu.com/p/7541594883 ， 里面 列了一些 題， 樓主 提到 第 21 題 。
證明 第 21 題，
設 b2 / b1 = qb2, b3/ b2 = qb3, b4 / b3 = qb4 …… bn / b﹙n - 1﹚ = qbn ，
a2 / a1 = qa2, a3/ a2 = qa3, a4 / a3 = qa4 …… an / a﹙n - 1﹚ = qan ，
則 bn = b1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
因為 { bn } 收斂， 所以， 當 n -> 無窮 時， bn -> B ， B 為 常量 。
則 當 n -> 無窮 時， b1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B
qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B / b1
因為 qa2 < qb2 , qa3 < qb3 , qa4 < qb4 …… qan < qbn ，
所以 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ < B / b1
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> a1 * A₀ < a1 * B / b1
令 A = a1 * A₀ ， 可知 A < a1 * B / b1 ， A 為 常量
也就是 an -> A ， A 為常量 ， 即 { an } 收斂 。
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ < B / b1 ， 因為 是 正數列， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan > 0 ， A₀ >= 0 ， 即 A₀ ∈ [ 0 , B / b1 ) 。
這里有一個 問題， A₀ ∈ [ 0 , B / b1 ) ， 那么， A₀ 是 一個 值， 還是 多個值 ？ 還是 無數個 可能 的 值 ？ 多個值 就是 當 n -> 無窮 時， A₀ 在 多個值 之間 跳躍 。
這一點 可以這樣解釋， 對於 一個 確定 的 數列， 每個 元素 都是 確定 的（包括 n-> 無窮 時）， 則 qa2 , qa3 , qa4 …… qan 都是 確定 的 ， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan 也是 確定 的， 即 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀ ， A₀ 也是 確定 的， 是 唯一值 。
可以 具體 一點 來 看 ， 可以把 qa2 , qa3 , qa4 …… qan 分為 2 組， 一組 大於等於 1， 積 記為 A1， 一組 小於 1， 積 記為 A2，
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀
這樣， 就可以 分 下面 這些 情況 來看 ：
1 A1 = 無窮大， A2= 無窮小， A1 * A2 = 無窮大 * 無窮小 = 常量
2 A1 = 無窮大， A2= 常量， A1 * A2 = 無窮大 * 常量 = 無窮大， 不符題意， 不滿足 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀ , A₀ ∈ [ 0 , B / b1 )
3 A1 = 常量， A2= 無窮小， A1 * A2 = 常量 * 無窮小 = 無窮小
4 A1 = 常量， A2 = 常量， A1 * A2 = 常量 * 常量 = 常量
5 A1 = 高階無窮大， A2= 無窮小， A1 * A2 = 高階無窮大 * 無窮小 = 無窮大， 不符題意， 不滿足 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A1 * A2 -> A₀ , A₀ ∈ [ 0 , B / b1 )
6 A1 = 無窮大， A2= 高階無窮小， A1 * A2 = 無窮大 * 高階無窮小 = 無窮小
嚴格的說， 這里的 A1 = 常量， 應該是 A1 -> 常量 。
其實 上面 我們 證明 的 是 無窮數列 的 情況， 沒有 包括 有窮數列， 有窮數列 的 證明方法 和 無窮數列 一樣 。
數列收斂 的 定義 是 “設數列{Xn}，如果存在常數a（只有一個），對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恆有|Xn-a|<q成立，就稱數列{Xn}收斂於a（極限為a），即數列{Xn}為收斂數列（Convergent Sequences）。”
我們 沒有 按照 這個 定義 來 證明， 而是 直接使用了 “趨於 ->” ， 不過 也還可以吧 。
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan -> A₀， 這里 是 “趨於 ->” ， 嚴格的說， 也可能 “等於”， 即 qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A₀
比如 當 n > N 時， qan = 1 ， 則 當 n -> 無窮 時， qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = A₀
此時， an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = a1 * A₀ ， 即 an = a1 * A₀
有窮數列 總是 “等於”， 即 n 最大 時， 最后一項 an = a1 * A₀
其實 這樣 證明 還是 有問題 的， “每個 元素 都是 確定 的（包括 n-> 無窮 時）” 並不能 說明 an 趨於 唯一的 值 。 比如 在 正弦曲線 y = sin x 上 每隔 π / 10 取一個點， 以 這些 點 的 y 值 組成一個 數列 { pn } ， 當 n -> 無窮 時， pn 在 多個 值 上 周期性 跳躍， 並不 趨於 唯一的 值 。
所以， 這里， 我們要 重新 證明 ， 主要 是 解決 “跳躍” 問題 。
因為 qan <= qbn ， 可以 表示為 qan = qbn * tn , tn <= 1 ， 則
qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan = qb2 * t2 * qb3 * t3 * qb4 * t4 * …… * qbn * tn
= qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
因為 qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn -> B / b1 ， B / b1 為 常量， 是一個 確定的 值 ，
因為 tn <= 1， 也就是 t2 , t3 , t4 …… tn 都 小於等於 1 ， 當 n -> 無窮 時， t2 * t3 * t4 * …… * tn 是 無數個 小於等於 1 的 正數 相乘， 可知 無數個 小於等於 1 的 正數 相乘 的 結果 是 1 或 無窮小 或 趨於 小於 1 的 一個 確定 的 值 ， 此處 證明 略 。
於是， 情況 就 明朗 了 ，
當 t2 * t3 * t4 * …… * tn = 1 時，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * 1
= a1 * B / b1
an -> a1 * B / b1
當 t2 * t3 * t4 * …… * tn = 無窮小 ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * 無窮小
= 無窮小
an -> 0
當 t2 * t3 * t4 * …… * tn -> T ， T < 1 ， T 為 常量， 是 一個 確定的 值 ，
an = a1 * qa2 * qa3 * qa4 * …… * qan
= a1 * qb2 * qb3 * qb4 * …… * qbn * t2 * t3 * t4 * …… * tn
-> a1 * B / b1 * T
= A < a1 * B / b1
an -> A ， A = a1 * B / b1 * T ， A 為 常量， 是 一個 確定的 值
無論 哪一種 情況 ， { an } 都 收斂， 證明完畢 。
我 是 聽着 周深 的 《起風了》 寫 這段 證明 的 ， 紀念一下 。 2021/09/30 2:23
本來 是 研究 qb2, qb3, qb4 …… qbn 的 關系， 推導出 qa2, qa3, qa4 …… qan 的 關系， 進而 推導出 a1, a2, a3, a4 …… an 的 遞進關系， 但 這樣 分析起來 情況 挺復雜的，
根據 數列收斂 的 定義 “對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恆有|Xn-a|<q成立” ，
但 當 n > N 時， 元素 並不一定 單調遞減 或 單調遞增， 而是 可能 跳躍起伏 。 比如 當 n -> 無窮 時， bn -> B， 但 當 n > N 時， bn 可能 從 B 的 上方 跳躍到 B 的 下方， 或 從 B 的 下方 跳躍到 B 的 上方 ， 即使 在 B 的 同一側， 也會 起伏， 也就是 時而增 時而減， 不是 單調遞減 或 單調遞增 。
但 根據 數列收斂 的 定義 “對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數N，使得n>N時，恆有|Xn-a|<q成立” ， 我們 可以 從 { bn } 中 挑選 一些 一個比一個小 （一個比一個大） 的 元素， 組成 一個 新數列， 這個 新數列 單調遞減 （單調遞增） ， 也可以 沿 這個 思路 來 證明 這題 。
凡此種種， 總的來說， 做 這題 考慮了 比較多 的 東西， 也 引出了 一些 問題 ：
當 n -> 無窮 時， pn 在 多個值上 跳躍， 何為 “跳躍”？ 除了 跳躍，還有 什么 原因 會 讓 an 不趨於 唯一的 值 ？ 若 an 單調遞減 ， 是否可以認為 an 趨於 唯一的值 ？ 任意數列 單調遞減， 會不會 趨於 唯一的 值？ 這些用 數學語言 描述 起來 是 很麻煩 的 。
這些 問題 尚待澄清 。
當然， 引出 的 問題 還有 其它的， 比如， 無數個 小於 1 的 正數 相乘 結果 一定 是 0 嗎 ？ 會不會 也 存在 極限， 極限 大於 0 ？
當然， 0 也是 極限， 這里 “會不會 也 存在 極限” 的 意思 是， 無數個 小於 1 的 正數 相乘 會不會 不是 無限制 的 趨於 0， 而是 會 漸進漸 “停留” 在 一個 大於 0 的 值 ？
無數個 小於 1 的 正數 相乘 可以 趨於 大於 0 的 值， 一定 是 趨於 一個 值 嗎 ？ 會不會 在 多個 值 之間 跳躍 ？ 或是 在 無數個 值 上 跳躍 ？
當 n -> 無窮 時， qbn -> 1 ， 這里面 總 好像 有 什么 需要 搞清楚 的 。
還好 這題 只是 證明 數列 收斂， 不是 數列和 收斂 ， 不然 可能 要 牽扯出 調和級數 了 。