數列的柯西收斂准則證明-----華東師大構造數列證明法

以下證明，來自華東師范大學數學分析第三版，但是證明最后，閉區間套定理的應用，做了改動，書中使用了某個閉區間套的引理，我改成了直接證明，不用任何引理
\(數列的柯西收斂准則證明-華東師大構造數列閉區間套證明法\)
\(華東師范大學數分教材用的是構造數列，構成閉區間套證明法。\)
\(中科大數分教材是用收斂子列法（寫在其他筆記里面）\)
\(這里是華東師范大學的數列構造法\)
\(【數列的柯西收斂准則】\)
\(數列an收斂的充要條件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，數列an收斂的充要條件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，\)
\(有|an−am|<ϵ有|an−am|<ϵ\)
\(【說明】其含義是，數列an隨着n趨於無窮，各項彼此越靠越近，越往后越近，任給一個任意小的整數，【說明】其含義是，數列an隨着n趨於\)\(無窮，各項彼此越靠越近，越往后越近，任給一個任意小的整數，\)
\(都能從某項之后，任意兩項之間的距離，或者說差的絕對值，都小於這個給定的任意小的數。都能從某項之后，任意兩項之間的距離，或者說\)\(差的絕對值，都小於這個給定的任意小的數。\)
\(也就是，從某項之后，即使距離最大的兩項，其距離差，都小於給定的任意小的數\)
\(【證明】\)
\(根據題設，\forall\epsilon>0,\exists N,當m,n>N時，有|a_{m}-a_{n}|<\epsilon\leqslant\epsilon\)
\(取\epsilon=\frac{1}{2},則\exists N_{1},當n>N_{1}時,有|a_{n}-a_{N_{1}}|\leqslant\frac{1}{2}\)
\(則，在區間[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]內，有無窮多項{a_{n}}\)
\(記[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]=[\alpha{1},\beta_{1}]\)
\(取\epsilon=\frac{1}{2^2},則\exists N_{2}',當n>N_{2}'時，有|a_{n}-a_{N_{2}'}|\leqslant\frac{1}{2^2}\)
\(設N_{2}=MAX\{N_{2}',(N_{1}+1)\}\)
\(則在區間[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]內，有無窮多項{a_{n}}\quad\quad(2)\)
\(記[{\alpha_{2},\beta_{2}}]=[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\cap[a_{N_{1}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2^2}]\)
\(因為N_{2}>N_{1}，所以a_{N_{2}}\in[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]\)
\(故,[{\alpha_{2},\beta_{2}}]\neq\emptyset\)
\(因為[\alpha1,\beta1]\backslash[\alpha2,\beta2]中的元素在[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]之外，所以\)
\(所以只有有限項，\)
\(又因為[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\backslash[\alpha2,\beta2]中的元素在[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]之外，所以只有有限項\)
\(故[\alpha2,\beta2]內有無限項{a_(n)}\)
\(且有\quad [\alpha1,\beta1]\supset[\alpha2,\beta2]\)
\(因為[\alpha2,\beta2]\subset[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\)
\(由(2)式可知\beta2-\alpha2\leqslant\frac{1}{2}\)
\(繼續令\epsilon=\frac{1}{2^3},\cdot\cdot,\frac{1}{2^n},\cdot\cdot\)
\(得到一系列閉區間{[\alpha_{n},\beta_{n}}\)
\(滿足:[\alpha_{n},\beta_{n}]\subset[\alpha{n+1},\beta_{n+1}]\)
\(\alpha_{n}-\beta_{n}\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(0\leqslant\alpha_{n}-\beta_{n}\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(由迫斂定理，可得lim_{n\to\infty}(\beta_{n}-\alpha_{n})=0\)
\(lim_{n\to\infty}\)
\(即,[\alpha_{n},\beta_{n}]是閉區間套\)
\(則，存在唯一一個數\xi\in[\alpha_{n},\beta_{n}](n=1,2,3..)\)
\(下面證明\xi是{a_{n}}極限\)
\(因為[\alpha_{n},\beta{n}]里{a_{n}}的無窮多項，均有|a_{n}-\xi|\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(故，若使|a_{n}-\xi|<\epsilon\)
\(只需\frac{1}{2^(n-1)}<\epsilon\)
\(即\quad n>\frac{ln\frac{2}{\epsilon}}{ln2}即可\)
證畢