二位柯西不等式\((ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
如圖，兩張圖片中顏色相同的三角形全等，且均為直角三角形，不妨設藍色三角形的直角邊邊長分別為a、b，黃色三角形的直角邊邊長分別為c、d。顯然，兩種圖片中中心白色的部分分別為平行四邊形和矩形，且兩圖形對應邊長分別相等，設平行四邊形的某一內角大小為θ，則平行四邊形面積\(S_平=(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}sinθ\)，矩形面積\(S_矩=(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}\)，因為sinθ≤1，所以平行四邊形面積小於等於矩形面積，設圖一整體面積為\(S_1=(a+d)(b+c)\)，圖二整體面積為\(S_2=ab+cd+(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}\)，顯然\(S_1≤S_2\)，即\(ac+bd≤(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}，即(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)