均值不等式詳解+證明+例題

本文轉載自查看原文 2022-03-13 16:03 1511 數論專版呀。

均值不等式

定義

均值不等式，同稱平均值不等式，也可稱為基本不等式。其內容為：

\[H_n\leqslant G_n\leqslant A_n\leqslant Q_n \]

即 調和平均數 $\leqslant$ 幾何平均數 $\leqslant$ 算術平均數 $\leqslant$ 平方平均數 。

具體一點

上面式子中的每個字母的具體意義如下：

\[\\H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}=\frac{1}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}} \\G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \\A_n=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...x_n^2}{n}} \]

證明

從簡單點開始：二次

預備定理

可以通過弦圖或是代數證明：

\[(a-b)^2\geqslant0\\ a^2-2ab+b^2\geqslant0\\ a^2+b^2\geqslant2ab \]

證明1：算術平均數大於等於幾何平均數

令 x 等於 $a^2$，y 等於 $b^2$，根據預備定理，那么有：$x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$

即：$\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ ，記為結論1.

證明2：幾何平均數大於等於調和平均數

有式子 $\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ （即為調和平均數），上下同時乘以 $xy$ ，式子值不變，變為 $\frac{2xy}{x+y}$ 。

由結論1得：$\frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ ，

右式轉化可得：$\sqrt{xy}=\frac{2xy}{2\sqrt{xy}}\le \frac{x+y}{2}$ ，其值不變。

又因為： $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ ，兩個式子的分母為 $x+y$ 和 $2\sqrt{xy}$

所以在分母上，前者大於等於后者，而分子相同，所以在數值上，有$\frac{2xy}{x+y}\le \frac{2xy}{2\sqrt{xy}}$

那么，可得 $\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \le \sqrt{xy}$

證明3：平方平均數大於等於算術平均數

若：$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{x+y}{2}$ ，那么應有：$\frac{x^2+y^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{4}$

通分得：$ x^2+y2\ge(x+y)^2/2$

拆項得：$x^2+y^2\ge \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+xy$

整理，可得: $x^2+y^2\ge 2xy$

同預備定理，故成立。

進階：三次

算數平均數大於幾何平均數

三次項下的算數平均數為 $\frac{a+b+c}{3}$ ,幾何平均數為 $\sqrt[3]{abc}$ ，試證明：$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$

若：$x^3+y^3+z^3-3xyz \ge 0$ ，那么：

將上式因式分解得：

\[=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\ =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)\\ =((x+y)+z)^3-3(x+y)z((x+y)+z)-3xy(x+y+z)\\ =(x+y+z)^3((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xy-3xz-3yz)\\ =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\\ =\frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2) \]

由於：均值不等式的討論范圍在於全體正數，所以前面的因式大於零，而后面的因式必大於等於零，故整個式子大於等於零，反證成立。

因此：$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0$ 是正確的。

那么，令 $a=x^3,b=y^3,c=z^3$，可以轉化為:

$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0$ , 即$\frac{a+b+c}{n}\ge\sqrt[3]{abc}$

故命題成立。

其他

另外幾個就留給大家做練習吧，我就不打擾了（其實就是不會證明）。