定義
對於任意實數 \(a_i,b_i(i=1,2,\cdots,n)\),有
\[\sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 \ge \left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2, (n\in\mathbb N^+) \qquad\qquad(*) \]
當且僅當 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 時,等號成立.
法一、構造二次函數
分析
可通過二次函數的判別式證明.
證明
當 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\cdots=b_n\) 時,\((*)\) 式顯然成立.
設 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 中至少有一個不為 \(0\),令
\[A=\sum\limits_{i=1}^n a_i^2, B=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i, C=\sum\limits_{i=1}^n b_i^2, \]
則 \(A>0\).
設二次函數
\[f(x) =Ax^2+2Bx+C =\sum\limits_{i=1}^n (a_i^2x^2+2a_ib_ix+b_i^2) =\sum\limits_{i=1}^n (a_ix+b)^2 \ge 0, \]
\(\therefore\) \(\Delta=(2B)^2-4AC\le 0\Longleftrightarrow AC\ge B^2\),則 \((*)\) 式成立.
要使 \((*)\) 式取等號,即 \(\Delta=0\),則 \(f(x)\) 有唯一零點,
即有唯一實數 \(x\) 使
\[a_ix+b_i=0(i=1,2,\cdots,n). \]
若 \(x=0\),則 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n),\)
若 \(x\not=0\),則 \(a_i=-\frac 1x b_i(i=1,2,\cdots,n).\)
綜上,\((*)\) 式成立,當且僅當 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 時取等號.
法二、向量內積
分析
用向量內積與向量模的積的大小關系即可證明.
證明
設 \(n\) 維空間直角坐標系中有向量 \(\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\),且 \(\boldsymbol \alpha\) 與 \(\boldsymbol \beta\) 之間的夾角為 \(\theta(0\le\theta\le\pi)\),則有
\[\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\ \Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned} \]
又 \(|\cos\theta|\le 1\),則
\[\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\ \Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2, \end{aligned} \]
可得 \((*)\) 式成立.
易知當且僅當 \(\boldsymbol \alpha\) 與 \(\boldsymbol \beta\) 同線時,即 \(\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta\) 時,\(|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|\),即
當且僅當 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 時,\((*)\) 式取等號.
法三、作差法
分析
作差,然后配平方即可.
證明
易得
\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n 2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned} \]
當且僅當 \(a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n)\),即 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 時,等號成立,即證.
法四、排序不等式
分析
通過排序不等式的形式來表示柯西不等式.
證明
易知 \((*)\) 式等價於
\[\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j, \]
由排序不等式可知上式成立,當且僅當 \(a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n)\),即 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 時,等號成立.
法五、數學歸納法
分析
與 \(n\) 相關的不等式一般都能用數學歸納法,這里就不多說了.
證明
設 \(n=k\).
當 \(k=1\) 時,\((*)\) 式顯然成立.
當 \(k\ge 2\) 時,不妨設當 \(n=k-1\) 時 \((*)\) 式成立,則
\[\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned} \]
當且僅當 \(\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0\),即 \(a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n)\),且 \(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2\) 時,等號成立.
綜上,\((*)\) 式成立,當且僅當 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i\) 時,等號成立.
