前言
簡單了解均值不等式的來龍去脈，有助於我們理解和靈活運用其解決問題。
均值不等式
來自百度百科的說明，表達式\(H_n\leq G_n\leq A_n\leq Q_n\)被稱為均值不等式，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。
已知對於\(n\)個實數\(x_1，x_2，\cdots，x_n\)而言，
\(H_n=\cfrac{n}{\sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{1}{x_k}}}=\cfrac{n}{\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}+\cdots+\cfrac{1}{x_n}}\)，被稱為調和平均數；
\(G_n=\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n{x_k}}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\)，被稱為幾何平均數；
\(A_n=\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}{n}=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)，被稱為算術平均數；
\(Q_n=\sqrt{\cfrac{\sum\limits_{k=1}^n{x^2_k}}{n}}=\sqrt{\cfrac{x^2_1+x^2_1+\cdots+x^2_n}{n}}\)，被稱為平方平均數；
由於上述不等式的四個部分，分別代表了\(n\)個實數的四種不同形式的(均值)平均數，所以經常被稱作均值不等式。
在高中階段，當\(n=2\)時，比如已知兩個正實數\(a，b\)，比照上面我們就有了：
\(H_2=\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}=\cfrac{2ab}{a+b}\)，稱為兩個正實數\(a，b\)的調和平均數；
\(G_2=\sqrt{ab}\)，稱為兩個正實數\(a，b\)的幾何平均數；
\(A_2=\cfrac{a+b}{2}\)，稱為兩個正實數\(a，b\)的算術平均數；
\(Q_2=\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}\)，稱為兩個正實數\(a，b\)的平方平均數；
這樣我們就得到了一個重要的不等式組：
證明方法
我們將其限定在高中階段的均值不等式的范圍內。
一個公知的數學常識：
基礎內容：對於任意的實數\(x，y\in R\)，\((x-y)^2\ge 0\)，將其展開就得到\(x^2+y^2\ge 2xy\)。
證明一：做代換，令\(x=\sqrt{a}\)，\(y=\sqrt{b}\)，
代入上式就得到\((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2\ge 2\sqrt{ab}\)，其中\(a\ge 0，b\ge 0\)，
實際應用中常常不考慮為零的情形，故有：\(\cfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}(a，b>0)[當且僅當a=b時取到等號]\)，
下來以此為基礎我們證明其他部分
證明二：由\(\cfrac{1}{a}\rightarrow a\)，\(\cfrac{1}{b}\rightarrow b\)， 代入上式得到\(\cfrac{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}{2}\ge\sqrt{\cfrac{1}{ab}}(a，b>0)\)，
變換即得到\(\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}[當且僅當a=b時取到等號]\)；
證明三：由\(a^2+b^2\ge 2ab\)，兩邊同加\(a^2+b^2\)，得到\(2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2\)，
開方得到\(\sqrt{2(a^2+b^2)}\ge a+b\)，兩邊同除以2，
得到\(\cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[當且僅當a=b時取到等號]\)；
綜上，故有：\(\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}= \cfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \cfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}[當且僅當a=b時取到等號]\)
常用結論
- \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
證明：\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\)，打開整理就是 \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(當且僅當\(a=b=c\)時取到等號)；
- 重要不等式的實際應用舉例：
設\(A、B、C、D\)是半徑為2的球面上的四點，且滿足\(AB\perp AC\)，\(AD\perp AC\)，\(AB\perp AD\)，則\(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}\)的最大值是________.
分析：結合題意，依托球內接長方體，則球體的直徑的平方等於三個長方體的長寬高的平方和，
故設\(AB=a\)，\(AC=b\)，\(AD=c\)，則有\(a^2+b^2+c^2=4^2=16\)；
由重要不等式可知，\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(當且僅當\(a=b=c\)時取等號)；
則\(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ABD}+S_{\Delta ACD}=\cfrac{1}{2}(ab+bc+ac)\leq \cfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=8\)；
即所求的最大值為\(8\).
- 已知\(a>0,b>0,a+b=1\)，可知\(ab\)的范圍。
分析：\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，故有\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)，即\(0< ab\leq \cfrac{1}{4}\)。
引申強化
- 不等式鏈 \(\cfrac{a^2+b^2}{a+b}\geqslant \cfrac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\geqslant \cfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}(a>0，b>0)\)恆成立；
證明思路：法1，借助均值不等式，
法2：借助幾何圖形證明，
法3：借助構造函數證明，
構造函數\(f(x)=\cfrac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a^x+b^x}\)，\(a>0，b>0\)，則\(f(x)\)在 \(R\)上單調遞增？，
故\(f(1)\geqslant f(0)\geqslant f(-\cfrac{1}{2})\geqslant f(-1)\)，整理即得到結論。
分析：\(f(\cfrac{2ab}{a+b})\) \(\leqslant\) \(f(\sqrt{ab})\) \(\leqslant\) \(f(\cfrac{a+b}{2})\) \(\leqslant\) \(f(\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}})\)