切比雪夫不等式

1. 切比雪夫不等式

\(P(|X−EX|≥ϵ)≤DX/ϵ^2\)
等價的是：
\(P(|X−EX|<ϵ)≥1−DX/ϵ^2\)
證明：
設連續型變量X的密度函數是f(x),事件|X−EX|≥ϵ表示X落在區間(EX−ϵ,EX+ϵ)外部。所以（將上下限擴展到正負無窮會比原來大）：

反之，
\(P(|X−EX|<ϵ)≥1−DX/ϵ2\)

應用切比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。

2. 切比雪夫大數定理：

設X₁，X₂，…，X_n，…是相互獨立的隨機變量序列，數學期望E(X_i)和方差D(X_i)都存在(i=1，2，…)，且D(X_i) < K (i=l，2，…)，則對任意給定的ε>0，有