不等式 $1$：
$$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$$
從代數角度來證明：
$$(a - b)^{2} \geq 0 \\
\Rightarrow a^{2} -2ab + b^{2} \geq 0 \\
\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2ab$$
從幾何角度來證明：
顯然正方形 $ABCD$ 的面積會大於等於四個直角三角形的面積和，即
$$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$$
當中間那塊白色區域面積為 $0$ 的時候，顯然正方向的面積等於四個三角形的面積和。
無論用代數還是幾何，還是通過坐標系，向量，都可以描述一個問題，從而給出問題的證明，比如幾何上的余弦定理就可以通過
向量和代數角度證明，關鍵是找到描述問題的方式。
不等式 $2$：
$$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}, \; a \geq 0, b \geq 0$$
代數角度很好證明，利用不等式 $1$，令 $a = \sqrt{a},b = \sqrt{b}$，就有
$$a + b \geq 2 \sqrt{ab}$$
那么能找到這個問題的幾何描述嗎？關鍵在於如何用幾何表示出 $\sqrt{ab}$。
上面這個圖，讓 $AC = a, BC = b$，則 $\frac{a + b}{2} = R$，通過設一些變量很容易證明：$CD = \sqrt{ab}$，顯然 $CD \leq R$，
當點 $C$ 在圓心時，$CD = R$。
在這個不等式里，幾何描述並不是很容易，代數角度就比較容易證明。數學上的問題使用不同的角度或工具考慮，難易程度是不同的。