Jensen不等式

（1）定義

設f是定義域為實數的函數，如果對所有的實數x，f(x)的二階導數都大於0，那么f是凸函數。

Jensen不等式定義如下：

如果f是凸函數，X是隨機變量，那么：  。當且僅當X是常量時，該式取等號。其中，E(X)表示X的數學期望。

注：Jensen不等式應用於凹函數時，不等號方向反向。當且僅當x是常量時，該不等式取等號。

（2）舉例

圖2：Jensen不等式

圖2中，實線f表示凸函數，X是隨機變量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。X的期望值就是a和b的中值，從圖中可以看到  成立。