一.\(gcd(f_{n},f_{n+1})=1\)
證明：
\[\begin{aligned} &gcd(f_{n},f_{n+1})&\\ =&gcd(f_{n},f_{n+1}-f_{n})&\\ =&gcd(f_{n},f_{n-1})&\\ =&……&\\ =&gcd(f_{1},f_{2})&\\ =&1& \end{aligned} \]
二.\(f_{m}=f_{m-n-1}\times f_{n}+f_{m-n}\times f_{n+1}\)
證明：
假設\(n<m\)，且\(f_{n}=a,f_{n+1}=b\)。
則\(f_{n+2}=a+b,f_{n+3}=a+2b,f_{n+4}=2a+3b\)。
我們可以發現ａ和ｂ前面的系數就是一個斐波那契數列，因此\(f_{m}=f_{m-n-1}\times a+f_{m-n} \times b\)，得證。
推論：\(f_{n+m}=f_{m-1}\times f_{n}+f_{m}\times f_{n+1}\)
三.\(gcd(f_{n},f_{m})=f_{gcd(n,m)}\)
證明：
由性質二我們知道\(gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_n,f_{m-n-1}\times f_{n}+f_{m-n}\times f_{n+1})\)。
又我們知道\(f_{n}|f_{m-n-1}\times f_{n}\)，由性質一我們知道\(gcd(f_{n},f_{n+1})=1\)，因此
\[gcd(f_{n},f_{m})=gcd(f_{n},f_{n-m}) \]
根據該等式我們即可得證該性質成立。
參考資料：
洛谷Ｐ1306博客:傳送門