斐波那契數列的性質

斐波那契遞推式：

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斐波那契通項公式：

求證過程如下：

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斐波那契和矩陣的關系：

描述這個。那還是描述矩陣和線性遞推式的關系吧

線性遞推式。即F(n)和F(n-1),F(n-2),F(n-3),F(n-4)...其階均是一次的關系。

如F(n)=2F(n-1)+F(n-2).F(n)=F(n-1)+2F(n-3)+4F(n-4)...

矩陣可以求解這樣的遞推式。也就是說可以快速計算F(n).時間復雜度可以到達log(n)級別。

 

先介紹一下我們需要用到的關於矩陣的知識。

描述矩陣規模時：n行m列。即大小為n*m.

矩陣乘法：

 

形狀上：2*2 和 2*3 的矩陣乘積后,結果是2*3的矩陣。

           即 a*b 矩陣 和 c*d的矩陣乘積結果是a*d的矩陣。             其中b和c必須相等。原因看下面。

運算法則：對於結果矩陣的第i行第j列的位置的結果是由前一個矩陣的對應的行。和后一個矩陣對應的列。對應位置  　　　　　乘積和獲得的。比如第1行第1列的11.是由前矩陣的第一行(1,3)和后矩陣的第一列(2,3)對應位置乘　　　　　　積和。1*2+3*3 = 11 獲得的。如果上述b和c如果不相等。那么會有地方"失配"沒有數值可以進行　　　　　　計算。不符合矩陣乘法定義。

矩陣乘法性質：

　　　　　矩陣乘法不符合交換律。符合結合律。（具體不分析了。稍加思考即得。）

 

矩陣的冪運算：

即計算以下式子。

其中朴素想法可以通過一步一步矩陣乘法來獲得結果矩陣。

但是從宏觀角度上去想。我們把矩陣的乘法理解成一種普通的數的乘法。我們現在要計算數的冪。

可以類比快速冪。那么矩陣也有矩陣的快速冪。分治思想。具體實現其實就是快速冪把乘法那部分改成矩陣乘法即可。代碼百度上有很多。等下我會放一份。（acdreamer矩陣的模板）

 

矩陣計算遞推式。

比如:對於F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)

我們可以構造矩陣和矩陣

二者乘積為：

會發現經過一次乘積。我們可以獲得矩陣。那么我們再將這個矩陣乘一次

就會得到F(3),F(2)的矩陣。所以我們可以發現。只要我們將我們的初始矩陣乘我們構造出來的1,1,1,0矩陣n-1次。就能獲得F(n),F(n-1)的矩陣。然后F(n)就是我們想要的了。而乘n-1次1,1,1,0矩陣。根據結合律。我們可以讓1,1,1,0矩陣自乘n-1次。最后再乘初始矩陣即可獲得最后我們想要的結果。

即求。我們可以利用快速矩陣冪。就可以在log(n)復雜度中解決了。

 

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關於斐波那契的一些恆等式：

 

 

具體證明：1~4.都是用類似的方法。我提一提。就好吧。

比如1. F(1)=F(3)-F(1) ， F(2)= F(4)-F(3)。。。F(n)=F(n+2)-F(n+1)

類似的分解。然后求和就能獲得結果了。

對於5.F(n)=F(n-1)+F(n-2)

　　　F(n)=2F(n-2)+F(n-3)

　　　F(n)=3F(n-3)+2F(n-4)

　　　...

　　　F(n)=F(m)F(n-m+1)+F(m-1)F(n-m)

對於6.是個很著名的式子。要想知道證明。百度有好多。就不贅述了。（而且現在還沒用過這個式子。）

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斐波那契的數論相關：

性質1：

證明：先證明斐波那契數列相鄰兩項是互素的。

反證法:假設不互素。那么有a=gcd(F(n),F(n-1)),a>1.

　　　 那么對於F(n)=F(n-1)+F(n-2).因為a|F(n),a|F(n-1),所以a|F(n-2).

　　　由於a|F(n-1),a|F(n-2).又可以獲得a|F(n-3)...可以知道a|F(1)其中。F(1)=1.

　　　如果a|F(1)->a|1那么與a>1不符。相鄰互素得證.(其實 a|F(2)就已經不行了.)　　　　

　　　

　　　那么再由上面斐波那契恆等式5.可以推理。

　　　

　　　中間推導依靠一小點數論知識.觀察開始式子和結果。

　　　一直將上式遞推下去。結合gcd(n,m)=gcd(n-m,m).結果會是gcd(a,b) = gcd(0,gcd(a,b))

　　　那么就可以證明上述式子成立。

 

性質2：

證明:當n|m時。

 

　　必要性也可以通過類似手法得證。

 

 

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define N 2
#define MOD 100000007
using namespace std;

struct Matrix
{
    LL m[N][N];
};

Matrix A = {
    1,1,
    1,0
};
Matrix I = {
    1,0,
    0,1
};
Matrix multi(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        for(j=0;j<N;j++)
        {
            c.m[i][j] = 0;
            for(k=0;k<N;k++)
            {
                c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j] % MOD;
            }
            c.m[i][j] %= MOD;
        }
    }
    return c;
}
Matrix mat_pow(Matrix A,int k)
{
    Matrix ans = I,p = A; //為了 不更改I 和 A
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            ans = multi(ans,p);
        }
        k >>= 1;
        p = multi(p,p);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        Matrix ans = mat_pow(A,n-1);
        printf("%I64d\n",ans.m[0][0]);
        
    }
    return 0;
}