斐波那契數列詳解

Fibnacci

1.基本的遞推性質：

1. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)
2. \(\sum\limits_{i=1}^{n}f_i=f_{n+2}-1\)
3. \(\sum\limits_{i=1}^{n}f^2_i=f_n\times f_{n+1}\)
4. \(f_1+f_3+f_5+...+f_{2n-1}=f_{2n}\)
5. \(f_2+f_4+f_6+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1\)
6. \(f_n=f_m\times f_{n-m+1}+f_{m-1}\times f_{n-m}(n\geq m)\)
7. \(f_{n-1}\times f_{n+1}=f_n^2+(-1)^n\)
8. \(\frac{f_{2n}}{f_n}=f_{n-1}+f_{n+1}\)
9. 一般用不到：\(f_{2n-2m-2}(f_{2n}+f_{2n+2})=f_{2m+2}+f_{4n-2m}(n>m\geq-1,n\geq-1)\)

證明：

1. 顯然

2. \(f_1=f_3-f_1\)

   \(f_2=f_4-f_3\)

   \(f_3=f_5-f_4...\)

   \(f_n=f_{n+2}-f_{n+1}\)

   上式相加消去相同元素，得證

3. \(\sum\limits_{i=1}^{n}f_i^2=f_1f_2+f_2^2+...+f_n^2=f_2(f_1+f_2)+...+f_n^2=f_2f_3+f_3^2+...+f_n^2=f_nf_{n+1}\)

4. 同2

5. 同2

6. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)

   \(f_n=2f_{n-2}+f_{n-3}\)

   \(f_n=3f_{n-3}+2f_{n-4}\)

   \(f_n=5f_{n-4}+3f_{n-5}...\)

   不難發現系數仍然是斐波那契數列，那么整理可得證

7. （不會）

2.與集合的關系

第\(f_{n+2}\)項是集合\(\textit{1,2,...,n}\)中所有不包含相鄰正整數子集的個數

3.與楊輝三角（組合數學）的關系

4.通項公式

\(f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]\)

看到里面的一個數跟黃金分割非常像，他確實也跟黃金分割有很大關系，不過過一會再提，先看證明

假設有\(a,b\)使

\(f_n-af_{n-1}=b(f_{n-1}-af_{n-2})\\ f_n=(a+b)f_{n-1}-abf_{n-2}\)

有
\(\left\{\begin{matrix} a+b=1 \\ -ab=1 \end{matrix}\right.\)

解得
\(\left\{\begin{matrix} a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. or \left\{\begin{matrix} a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ b=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\)

\(f_n-af_{n-1}=b(f_{n-1}-af_{n-2})\)

\(\frac{f_n-af_{n-1}}{f_{n-1}-af_{n-2}}=b\)

令\(S_{n}=f_n-af_{n-1}\),則

\(\left\{\begin{matrix} \frac{S_n}{S_{n-1}}=b\\ S_1=f_1-af_0=1 \end{matrix}\right.\)

進而可得\(S_n=b^{n-1}\Rightarrow f_n-af_{n-1}=b^{n-1}\)

那么\(f_n=b^{n-1}+af_{n-1}\)，把求得的\(a,b\)代入得

\(\left\{\begin{matrix} f_n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}f_{n-1}\\ f_n=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}f_{n-1} \end{matrix}\right.\)

\((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}f_{n-1}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}f_{n-1}\)

\(\left [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \right ]=\sqrt{5}f_{n-1}\)

\(f_{n-1}=\left [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1} \right ]\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(f_{n}=\left [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n} \right ]\frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\square\)

5.黃金分割的關系

關於相鄰兩項的比值，在\(n\)趨於無限時等於黃金分割比，即

\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{f_n}{f_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

6.數論相關

\(\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}\)

證明的話使用上面的遞推性質\(5\)即可證明

然后由這個可以推出來一個只有斐波那契第\(2\)項不符合的公式，

\(n|m\Leftrightarrow f_n|f_m\)

7.不太重要的公式

當時在做斐波這道題的時候考場上自己推出來了一個式子，應該是對的，但是翻遍了博客沒有看到一樣的

不知道能不能用前\(n\)項平方和公式證明，在這里給一下吧

\(f_n^2+f_{n+1}^2=f_{2n+1}\)，

好的證明已經給出來了，直接用遞推性質\(5\)然后瘋狂化簡右式即可得到與左式相同的形式，%%%zero4338

參考資料

度娘

大佬博客

戰神草稿紙