斐波那契數列

1 什么是斐波那契數列

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在現代物理、准晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。

  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——摘自百度百科

通項公式：an=an-1+an-2

 

2 公式的應用：

黃金分割

隨着數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近 黃金分割的數值 0.6180339887..…

楊輝三角

將 楊輝三角左對齊，將同一斜行的數加起來，即得一數列 1、1、2、3、5、8

矩形面積

斐波那契數列與矩形面積的生成相關，數列前幾項的平方和可以看做不同大小的正方形，由於斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等於大矩形的面積。

尾數循環

斐波那契數列的個位數：一個60步的循環，進一步，最后兩位數是一個300步的循環，最后三位數是一個1500步的循環，最后四位數是一個15000步的循環，最后五位數是一個150000步的循環。

自然界中“巧合”

樹木生長時的枝條，生物學上著名的“魯德維格定律”。

一些花的花瓣數也程斐波那契數列：百合花花瓣數目為 3，梅花 5 瓣，飛燕草 8 瓣，萬壽菊 13 瓣，向日葵 21 或 34 瓣，雛菊有 34、55 和 89 三個數目的花瓣。

斐波那契螺旋。

等等

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——摘自百度百科

可見，斐波那契數列應用廣泛。

3 程序實現：

利用C遞歸實現斐波那契數列：

 

#include <stdio.h>
int Fibonaci(int n){
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n<=3)
        return 1;
    int v;
    v=Fibonaci(n-1)+Fibonaci(n-2);
    return v;
}
int main()
{
    int number;
    scanf("%d",&number);
    if (number<0)
        printf("error");
    else
    {
        int a=0;
        a=Fibonaci(number);
        printf("%d",a);
    }
    return 0;
}

 

利用python遞歸實現斐波那契數列：

 

def fabonacqi(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n <= 2:
        v = 1
        return v
    v = fabonacqi(n - 1) + fabonacqi(n - 2)
    return v

a=int(input())
if a<0:
    print("error")
else:
    print(fabonacqi(a))

 

4 遞歸函數：

編程語言中，函數Func(Type a,……)直接或間接調用函數本身，則該函數稱為遞歸函數。

優點：結構清晰，可讀性強，而且容易用數學歸納法來證明算法的正確性，因此它為設計算法、調試程序帶來很大方便。
缺點：遞歸算法的運行效率較低，無論是耗費的計算時間還是占用的存儲空間都比非遞歸算法要多。例如遞歸算斐波那契數列，number=50，就運行的很慢了，但是如果用遞推，就會快很多。