斐波那契数列

1 什么是斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——摘自百度百科

通项公式：an=an-1+an-2

 

2 公式的应用：

黄金分割

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近 黄金分割的数值 0.6180339887..…

杨辉三角

将 杨辉三角左对齐，将同一斜行的数加起来，即得一数列 1、1、2、3、5、8

矩形面积

斐波那契数列与矩形面积的生成相关，数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。

尾数循环

斐波那契数列的个位数：一个60步的循环，进一步，最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。

自然界中“巧合”

树木生长时的枝条，生物学上著名的“鲁德维格定律”。

一些花的花瓣数也程斐波那契数列：百合花花瓣数目为 3，梅花 5 瓣，飞燕草 8 瓣，万寿菊 13 瓣，向日葵 21 或 34 瓣，雏菊有 34、55 和 89 三个数目的花瓣。

斐波那契螺旋。

等等

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——摘自百度百科

可见，斐波那契数列应用广泛。

3 程序实现：

利用C递归实现斐波那契数列：

 

#include <stdio.h>
int Fibonaci(int n){
    if(n<=0)
        return 0;
    if(n<=3)
        return 1;
    int v;
    v=Fibonaci(n-1)+Fibonaci(n-2);
    return v;
}
int main()
{
    int number;
    scanf("%d",&number);
    if (number<0)
        printf("error");
    else
    {
        int a=0;
        a=Fibonaci(number);
        printf("%d",a);
    }
    return 0;
}

 

利用python递归实现斐波那契数列：

 

def fabonacqi(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n <= 2:
        v = 1
        return v
    v = fabonacqi(n - 1) + fabonacqi(n - 2)
    return v

a=int(input())
if a<0:
    print("error")
else:
    print(fabonacqi(a))

 

4 递归函数：

编程语言中，函数Func(Type a,……)直接或间接调用函数本身，则该函数称为递归函数。

优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。例如递归算斐波那契数列，number=50，就运行的很慢了，但是如果用递推，就会快很多。