設數列\({x_n}\)滿足a≤\(x_n\)≤b，將區間[a,b]二等分，用\([a_1,b_1]\)表示含有\({x_n}\)中無窮多項的一半區間（若兩個半區間均含有\({x_n}\)中的無窮多項，則任取其中一部分作為\([a_1,b_1]\)），並取\(x_{n_1}∈[a_1,b_1]\)。再將\([a_1,b_1]\)二等分，用\([a_2,b_2]\)表示含有\({x_n}\)中無窮多項的一半區間，並取\(x_{n_2}∈[a_2,b_2]，n_1＜n_2\)。如此繼續下去，可得到\({x_n}\)的一個子數列\({x_{n_k}}\)，滿足
\(x_{n_k}∈[a_k,b_k]\)，
且閉區間
\([a_1,b_1]⊆[a_2,b_2]⊆......，0≤lim_{n→∞}(b_n-a_n)≤lim_{n→∞}\frac{b-a}{2^n}\)
由閉區間套定理，存在唯一常數c，使得
\(lim_{n→∞}a_n=lim_{n→∞}b_n=c\)
由於\(a_k≤x_{n_k}≤b_k\)，由夾擠定理，\(lim_{n→∞}x_{n_k}=c\)