經典算法問題 - 最大連續子數列和

文章來自：http://conw.net/archives/9/

（不是抄襲，那是我自己的博客，源地址查看代碼有高亮）

最大連續子數列和一道很經典的算法問題，給定一個數列，其中可能有正數也可能有負數，我們的任務是找出其中連續的一個子數列（不允許空序列），使它們的和盡可能大。我們一起用多種方式，逐步優化解決這個問題。

為了更清晰的理解問題，首先我們先看一組數據：
8
-2 6 -1 5 4 -7 2 3
第一行的8是說序列的長度是8，然后第二行有8個數字，即待計算的序列。
對於這個序列，我們的答案應該是14，所選的數列是從第2個數到第5個數，這4個數的和是所有子數列中最大的。

最暴力的做法，復雜度O(N^3)

暴力求解也是容易理解的做法，簡單來說，我們只要用兩層循環枚舉起點和終點，這樣就嘗試了所有的子序列，然后計算每個子序列的和，然后找到其中最大的即可，C語言代碼如下：

#include <stdio.h>

//N是數組長度，num是待計算的數組，放在全局區是因為可以開很大的數組
int N, num[1024];

int main()
{
    //輸入數據
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化為num[1]能保證最終結果正確
    //i和j分別是枚舉的子序列的起點和終點，k所在循環計算每個子序列的和
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = i; j <= N; j++) {
            int s = 0;
            for(int k = i; k <= j; k++) {
                s += num[k];
            }
            if(s > ans) ans = s;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

這個算法的時間復雜度是O(N^3)，復雜度的計算方法可參考《算法導論》第一章，如果我們的計算機可以每秒計算一億次的話，這個算法在一秒內只能計算出500左右長度序列的答案。

一個簡單的優化

如果你讀懂了剛才的程序，我們可以來看一個簡單的優化。
如果我們有這樣一個數組sum，sum[i]表示第1個到第i個數的和。那么我們如何快速計算第i個到第j個這個序列的和？對，只要用sum[j] - sum[i-1]就可以了！這樣的話，我們就可以省掉最內層的循環，讓我們的程序效率更高！C語言代碼如下：

#include <stdio.h>

//N是數組長度，num是待計算的數組，sum是數組前綴和，放在全局區是因為可以開很大的數組
int N, num[16384], sum[16384];

int main()
{
    //輸入數據
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    //計算數組前綴和
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        sum[i] = num[i] + sum[i - 1];
    }

    int ans = num[1]; //ans保存最大子序列和，初始化為num[1]能保證最終結果正確
    //i和j分別是枚舉的子序列的起點和終點
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        for(int j = i; j <= N; j++) {
            int s = sum[j] - sum[i - 1];
            if(s > ans) ans = s;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

這個算法的時間復雜度是O(N^2)。如果我們的計算機可以每秒計算一億次的話，這個算法在一秒內能計算出10000左右長度序列的答案，比之前的程序已經有了很大的提升！此外，我們在這個程序中創建了一個sum數組，事實上，這也是不必要的，我們我就也可以把數組前綴和直接計算在num數組中，這樣可以節約一些內存。

換個思路，繼續優化

你應該聽說過分治法，正是：分而治之。我們有一個很復雜的大問題，很難直接解決它，但是我們發現可以把問題划分成子問題，如果子問題規模還是太大，並且它還可以繼續划分，那就繼續划分下去。直到這些子問題的規模已經很容易解決了，那么就把所有的子問題都解決，最后把所有的子問題合並，我們就得到復雜大問題的答案了。可能說起來簡單，但是仍不知道怎么做，接下來分析這個問題：
首先，我們可以把整個序列平均分成左右兩部分，答案則會在以下三種情況中：
1、所求序列完全包含在左半部分的序列中。
2、所求序列完全包含在右半部分的序列中。
3、所求序列剛好橫跨分割點，即左右序列各占一部分。
前兩種情況和大問題一樣，只是規模小了些，如果三個子問題都能解決，那么答案就是三個結果的最大值。我們主要研究一下第三種情況如何解決：

我們只要計算出：以分割點為起點向左的最大連續序列和、以分割點為起點向右的最大連續序列和，這兩個結果的和就是第三種情況的答案。因為已知起點，所以這兩個結果都能在O(N)的時間復雜度能算出來。

遞歸不斷減小問題的規模，直到序列長度為1的時候，那答案就是序列中那個數字。
綜上所述，C語言代碼如下，遞歸實現：

#include <stdio.h>

//N是數組長度，num是待計算的數組，放在全局區是因為可以開很大的數組
int N, num[16777216];

int solve(int left, int right)
{
    //序列長度為1時
    if(left == right)
        return num[left];
    
    //划分為兩個規模更小的問題
    int mid = left + right >> 1;
    int lans = solve(left, mid);
    int rans = solve(mid + 1, right);
    
    //橫跨分割點的情況
    int sum = 0, lmax = num[mid], rmax = num[mid + 1];
    for(int i = mid; i >= left; i--) {
        sum += num[i];
        if(sum > lmax) lmax = sum;
    }
    sum = 0;
    for(int i = mid + 1; i <= right; i++) {
        sum += num[i];
        if(sum > rmax) rmax = sum;
    }

    //答案是三種情況的最大值
    int ans = lmax + rmax;
    if(lans > ans) ans = lans;
    if(rans > ans) ans = rans;

    return ans;
}

int main()
{
    //輸入數據
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);

    printf("%d\n", solve(1, N));

    return 0;
}

 

不難看出，這個算法的時間復雜度是O(N*logN)的（想想歸並排序）。它可以在一秒內處理百萬級別的數據，甚至千萬級別也不會顯得很慢！這正是算法的優美之處。對遞歸不太熟悉的話可能會對這個算法有所疑惑，那可就要仔細琢磨一下了。

動態規划的魅力，O(N)解決！

很多動態規划算法非常像數學中的遞推。我們如果能找到一個合適的遞推公式，就能很容易的解決問題。
我們用dp[n]表示以第n個數結尾的最大連續子序列的和，於是存在以下遞推公式：
dp[n] = max(0, dp[n-1]) + num[n]
仔細思考后不難發現這個遞推公式是正確的，則整個問題的答案是max(dp[m]) | m∈[1, N]。C語言代碼如下：

#include <stdio.h>

//N是數組長度，num是待計算的數組，放在全局區是因為可以開很大的數組
int N, num[134217728];

int main()
{
    //輸入數據
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    num[0] = 0;
    int ans = num[1];
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        if(num[i - 1] > 0) num[i] += num[i - 1];
        else num[i] += 0;
        if(num[i] > ans) ans = num[i];
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

這里我們沒有創建dp數組，根據遞歸公式的依賴關系，單獨一個num數組就足以解決問題，創建一個一億長度的數組要占用幾百MB的內存！這個算法的時間復雜度是O(N)的，所以它計算一億長度的序列也不在話下！不過你如果真的用一個這么大規模的數據來測試這個程序會很慢，因為大量的時間都耗費在程序讀取數據上了！

另辟蹊徑，又一個O(N)的算法

考慮我們之前O(N^2)的算法，即一個簡單的優化一節，我們還有沒有辦法優化這個算法呢？答案是肯定的！
我們已知一個sum數組，sum[i]表示第1個數到第i個數的和，於是sum[j] - sum[i-1]表示第i個數到第j個數的和。
那么，以第n個數為結尾的最大子序列和有什么特點？假設這個子序列的起點是m，於是結果為sum[n] - sum[m-1]。並且，sum[m]必然是sum[1],sum[2]...sum[n-1]中的最小值！這樣，我們如果在維護計算sum數組的時候，同時維護之前的最小值， 那么答案也就出來了！為了節省內存，我們還是只用一個num數組。C語言代碼如下：

#include <stdio.h>

//N是數組長度，num是待計算的數組，放在全局區是因為可以開很大的數組
int N, num[134217728];

int main()
{
    //輸入數據
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    
    //計算數組前綴和，並在此過程中得到答案
    num[0] = 0;
    int ans = num[1], lmin = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        num[i] += num[i - 1];
        if(num[i] - lmin > ans)
            ans = num[i] - lmin;
        if(num[i] < lmin)
            lmin = num[i];
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

看起來我們已經把最大連續子序列和的問題解決得很完美了，時間復雜度和空間復雜度都是O(N)，不過，我們確實還可以繼續！

大道至簡，最大連續子序列和問題的完美解決

很顯然，解決此問題的算法的時間復雜度不可能低於O(N)，因為我們至少要算出整個序列的和，不過如果空間復雜度也達到了O(N)，就有點說不過去了，讓我們把num數組也去掉吧！

#include <stdio.h>

int main()
{
    int N, n, s, ans, m = 0;

    scanf("%d%d", &N, &n); //讀取數組長度和序列中的第一個數
    ans = s = n; //把ans初始化為序列中的的第一個數
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        if(s < m) m = s;
        scanf("%d", &n);
        s += n;
        if(s - m > ans)
            ans = s - m;
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

 

這個程序的原理和另辟蹊徑，又一個O(N)的算法中介紹的一樣，在計算前綴和的過程中維護之前得到的最小值。它的時間復雜度是O(N)，空間復雜度是O(1)，這達到了理論下限！唯一比較麻煩的是ans的初始化值，不能直接初始化為0，因為數列可能全為負數！

至此，最大連續子序列和的問題已經被我們完美解決！然而以上介紹的算法都只是直接求出問題的結果，而不能求出具體是哪一個子序列，其實搞定這個問題並不復雜，具體怎么做留待讀者思考吧！