本文主要總結最大連續子序列和的問題及其歷史，這個題目在很多公司的面試中出現，編程之美也有講述。本文主要介紹一維的情形，環形和二維的擴展在下一篇講述。
最大連續子序列和最早是在編程珠璣講述，這個問題最初由布朗大學的統計學家UIF Grenander在處理圖片時提出的，當時是處理二維數組的子數組，為了簡化問題，才先提出一維數組的解法。
問題定義：對一個有n個元素的數組，求最大的連續子數組的和。數組的元素必然有正數也有負數才有意義，如果全是正數，那最大的子數組就是本身；如果全部為負數，那最大子數組就是空數組。例如下面的數組，其最大子數組序列和為187，子數組為X[2,..,6]：
| 31 | -41 | 59 | 26 | -53 | 58 | 97 | -93 | -23 | 84 |
這個問題有很強的代表性，有很多實現方法，復雜度從O(n^3)到O(n)都用，另外這個問題可以擴展到二維數組，甚至擴展到環，我們來逐一討論，步步深入。
1、最直接的方法O(n^3)
每個問題往往都有一個最直接而魯莽的方法，雖然這樣的方法不是我們最終想要的，但直接有效的方法能啟發我們進一步優化。這里最直接的方法就是遍歷所有的子數組，比較每一個子數組的和即得到最大的子數組和。實現代碼如下，只需要記錄一個當前最大值即可。
1 def maxSeqSum1(data): 2 n = len(data) 3 maxsofar = 0 4 for i in xrange(n): 5 for j in xrange(i,n): 6 s = sum(data[i:j+1]) 7 if s > maxsofar: 8 maxsofar = s 9 return maxsofar
這個算法的時間復雜度是O(n^3)，雖然看上去只要兩層循環，但最里面的求和並不是常量時間。最外層循環n次，第二層最多循環n次，里面的求和長度最大也為n，因此整個計算的復雜度是O(n^3)。
2、小小的改進O(n^2)
當數組長度大於1000后，O(n^3)的算法就已經顯得力不從心了。想一想我們可以稍作改變就降低到O(n^2)，這里需要比較的子數組個數為n*(n-1)/2，已經是n^2的數量級了，因此我們想能不能在求和上做改進，使得求子數組的和的復雜度為O(1)。上面的算法的i、j分別是子數組的上邊界和下邊界，子數組X[i,..j]的和sum(X[i,..j]) = sum(X[i,..j-1])+X[j]，於是得到如下的算法：
1 def maxSeqSum2(data): 2 n = len(data) 3 maxsofar = 0 4 for i in xrange(n): 5 s = 0 6 for j in xrange(i,n): 7 s += data[j] 8 if s > maxsofar: 9 maxsofar = s 10 return maxsofar
還有另外一種方法，將計算子數組的和的復雜度降到O(1)，它先用數組accu[n]表示累加和，即accu[i]表示X前i個元素之和，這樣sum(X[i,..j])=accu[j]-accu[i-1]，實現代碼如下：
def maxSeqSum3(X): '''maxSeqSum3 O(n^2)''' n = len(X) accu = [0] * (n+1) for i in xrange(n): accu[i] = accu[i-1] + X[i] maxsofar = 0 for i in xrange(n): for j in xrange(i,n): s = accu[j] - accu[i-1] if s > maxsofar: maxsofar = s return maxsofar
這里利用了python的一個特別之處，即列表下標可以為負數，x[-1]即為x[n-1]，用C語言實現需要修改一下，我們可以用accu[i+1]表示前i個元素之和，這樣C代碼如下：
1 int maxSeqSum3(int X[],int n){ 2 int accu[n+1]; 3 accu[0] = 0; 4 for(int i=0 ; i < n; i++) 5 accu[i+1] = accu[i] + X[i]; 6 int s,maxsofar = -1; 7 for(int i = 0; i < n; i++){ 8 for(int j =i; j < n; j++){ 9 s = accu[j+1]-accu[i]; 10 if(s > maxsofar) 11 maxsofar = s; 12 } 13 } 14 return maxsofar; 15
16 }
3、更近一步的方法O(nlog(n))
O(n^2)的復雜度還是太高，當n大於10,000后，需要等待的計算時間就已經超過8分鍾了。如果能把這個問題規模分解成兩個子問題，那就能轉化為遞歸問題，很可能就能得到一個O(nlog(n))的算法。實際上，我們把原來的數組X[0,...n)分成兩個等長的子數組X1和X2：
| X1 | X2 |
原數組X的最大連續子數組只能是以下三種情況之一：
- 只在X1中，即X的最大和連續子數組就是X1的最大和連續子數組m1;
- 只在X2中，即X的最大和連續子數組就是X2的最大和連續子數組m2;
| m1 | m2 |
- 即在X1中又在X2中，如m3所示
| m3 |
X1和X2的最大和連續子數組m1、m2可以通過遞歸來求解，現在我們只需要把m3求出來，比較其中的最大值就得到了X的最大和。不知道大家能否理解，m3是X1右邊的一個子數組之和加上X2左邊一個子數組之和。遞歸求解問題需要定義平凡解，即當子數組的長度為0時，最大和應該為0，當子數組長度為1時，最大和應該為max(xi[0],0)。這樣我們便實現了一個遞歸的解法：
1 def recursionMax(X,l,u): 2 if l > u:#lenght is 0
3 return 0 4 if l == u: 5 return max(X[l],0) 6 m = (l + u) / 2
7 lmax = s = 0 8 for i in xrange(m,l,-1): 9 s += X[i] 10 lmax = max(lmax,s) 11 rmax = s = 0 12 for i in xrange(m+1,u-1): 13 s += X[i] 14 rmax = max(rmax,s) 15 return max(rmax+lmax,recursionMax(X,l,m),recursionMax(X,m+1,u)) 16 def maxSeqSum4(X): 17 '''maxSeqSum4 O(nlogn)'''
18 return recursionMax(X,0,len(X)-1)
原問題的規模為T(n)，用上面的遞歸解法，T(n) = 2T(n/2)+O(n)=O(nlogn)
4、哇哦~O(n)
1977年UIF Grenander把這個問題告訴了CMU的Michael Shmos，Michael Shmos連夜想出來了上面的O(nlogn)算法，並與Jon Bentley分享，他們當時認為這是最好的算法了，可是幾天后，Shmos在CMU的一個報告會上向統計學家Jay Kadane描述了這個問題，Kadane幾分鍾就想出來一個O(n)的算法，太牛叉啦~
Kadane的O(n)的算法只需要一個掃描數組X一次，掃描的過程記錄一個當前最大值maxsofar與一個以當前元素為右端點的最大值maxendinghere，在掃描的過程中如果maxendinghere比0小，那就從開始重新記錄。算法如下：
1 def maxSeqSum5(X): 2 '''maxSeqSum5 O(n)'''
3 maxsofar = maxendinghere = 0 4 for i in xrange(len(X)): 5 maxendinghere += X[i] 6 if maxendinghere < 0: 7 maxendinghere = 0 8 maxsofar = max(maxsofar,maxendinghere) 9 return maxsofar
這已經是最優的解法了，任何正確的算法必須是O(n)復雜度的。假設最大和子數組為X[i,..,j]，那么為了確定X[i,..,j]最大，我們必須遍歷X[0,i)和X(j,n)的所有元素，不論X[1,i)多么的小，都不能排除加上X[0]后變得超級大，從而最大子數組成了X[0,...,j]。
前面的幾個解法，都只是求出了最大值，並沒有指出數組的范圍，但找出來也很容易，下面的代碼改進了一下O(n)的解法，同時返回子數組的下標起點和終點：
1 def maxSeqSum6(X): 2 '''maxSeqSum5 O(n)'''
3 # s1,su is the start and end of so far ,
4 # el,eu is start and end of endinghere
5 # take care that the subvector is X[s1,su), not X[s1,su]
6 maxsofar = maxendinghere = 0 7 sl = su = el = eu = 0 8 for i in xrange(len(X)): 9 maxendinghere += X[i] 10 if maxendinghere < 0: 11 maxendinghere = 0 12 el = eu = i+1
13 else: 14 eu += 1
15 if maxsofar < maxendinghere: 16 maxsofar = maxendinghere 17 sl = el 18 su = eu 19 return maxsofar,sl,su-1
變形1 如果是要求至少選擇一個元素，應該如下處理：
public int maxSubArray(int[] A) { int cur=0; int max=Integer.MIN_VALUE; for(int i=0;i<A.length;i++){ cur = Math.max(cur + A[i], A[i]); max = Math.max(max,cur); } return max; }
變形2 求樹的最大路徑之和，端點結點可以為任意結點，參考leetcode：
private int maxSum; public int maxPathSum(TreeNode root) { if(root == null) return 0; maxSum = Integer.MIN_VALUE; dfs(root); return maxSum; } public int dfs(TreeNode root) { if(root == null) return 0; int left = dfs(root.left); int right = dfs(root.right); int sum = root.val; if(left > 0) sum += left; if(right > 0) sum += right; maxSum = Math.max(sum,maxSum); int max = Math.max(left,right); return max > 0 ? max + root.val : root.val; }
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