動態規划——最大連續子序列和

　　最大連續子序列和問題如下：

 

 

　　下面介紹動態規划的做法，復雜度為 O(n)。

　　步驟 1：令狀態 dp[i] 表示以 A[i] 作為末尾的連續序列的最大和（這里是說 A[i] 必須作為連續序列的末尾）。

　　步驟 2：做如下考慮：因為 dp[i] 要求是必須以 A[i] 結尾的連續序列，那么只有兩種情況：

1. 1.  這個最大和的連續序列只有一個元素，即以 A[i] 開始，以 A[i] 結尾。
   2.  這個最大和的連續序列有多個元素，即從前面某處 A[p] 開始 (p<i)，一直到 A[i] 結尾。

　　對第一種情況，最大和就是 A[i] 本身。

　　對第二種情況，最大和是 dp[i-1]+A[i]。

　　於是得到狀態轉移方程：

　　　　　　　　dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}

　　這個式子只和 i 與 i 之前的元素有關，且邊界為 dp[0] = A[0]，由此從小到大枚舉 i，即可得到整個 dp 數組。接着輸出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即為最大連續子序列的和。

　　代碼如下：

/*
    最大連續子序列和 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 10010
int A[maxn], dp[maxn];    // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 為結尾的連續序列的最大和 

// 求較大值
int max(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; 
} 

int main() {
    int n, i, k;
    scanf("%d", &n);
    for(i=0; i<n; ++i) {        // 輸入序列 
        scanf("%d", &A[i]);
    }
    dp[0] = A[0];                // 邊界
    for(i=1; i<n; ++i) {
        // 狀態轉移方程 
        dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
    } 
    // 求最大連續子序列和 
    k = dp[0];
    for(i=1; i<n; ++i) {
        if(dp[i] > k) {
            k = dp[i];
        }
    }
    printf("%d\n", k);        // 輸出 

    return 0;
}

 

 

　　此處順便介紹無后效性的概念。狀態的無后效性是指：當前狀態記錄了歷史信息，一旦當前狀態確定，就不會再改變，且未來的決策只能在已有的一個或若干個狀態的基礎上進行，歷史信息只能通過已有的狀態去影響未來的決策。針對本節問題來說，每次計算狀態 dp[i]，都只會涉及 dp[i-1]，而不直接用到 dp[i-1] 蘊含的歷史消息。