之前在其他博客看到了，但是算法的關鍵部分完全看不懂為什么要這么做，直到最近上算法課，才終於知道到底怎么來的。
問題描述：
給出一個數組，求其最大連續子數組和
例：數組{1,2,3,4,-5,10,-1,-1}的最大連續子數組和是子數組{1,2,3,4,-5,10}的和15
算法過程：
這個算法能從零直接想出來的人是真的厲害，我並不可以，所以我直接描述一下這個算法是怎么算的，而不描述怎么想到的了
首先我們把原來數組記做a，然后最關鍵的一步，我們需要一個等長的數組b，b[j]的含義是以下一系列和中的最大值
a[0] + a[1] + a[2] + a[3] + … + a[j]
a[1] + a[2] + a[3] + … + a[j]
a[2] + a[3] + … + a[j]
a[3] + … + a[j]
……
a[j]
那么顯然可以知道的是，b數組中的最大值，就是我們想要的a的最大連續子數組和。
接下來就是要得到數組b，初始化的話，b[0]應該為0和a[0]之中的較大者，下面探討b[j]和b[j+1]之間的關系：
b[j+1]只有兩種取法，第一種是b[j]+a[j+1]，注意b[j]本身就是最大值，所以不用再去考慮b[j]內部的情況了，第二種是a[j+1]，所以
b[j+1] = max{ b[j]+a[j+1], a[j+1] }
OK，到此這個算法其實就算完成了，下面是直接根據這個思路打的代碼：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int a[] = {1,2,3,4,-5,10,-1,-1}; // 原數組
int* b = (int*)malloc(sizeof(a)); // 數組b，和原數組等長
// 初始化
b[0]= a[0] > 0 ? a[0] : 0;
// 遍歷構造，注意i的邊界
int length = sizeof(a) / sizeof(int); // 數組長
for (int i = 0; i < length - 1; i++) {
b[i+1] = b[i] + a[i+1] > a[i+1] ? b[i] + a[i+1] : a[i+1];
}
// 然后找出b中的最大值
int max = b[0];
for (int i = 1; i < length; i++)
if (b[i] > max)
max = b[i];
printf("max=%i\n", max);
return 0;
}
然后導致我一直看不懂的地方來了，對上面這段代碼進行編程上的優化，優化主要有兩個地方，
首先在上面的分析中，b[n+1]只和當前遍歷到的a[n+1]和前一個b[n]直接相關，所以其實並不需要保存整個數組b，換用一個變量就可以了，其次是最大值，也是可以一遍遍歷一邊改的
於是就有了目前網絡上流傳最多的以下這種代碼：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main() {
int a[] = {1,2,3,4,-5,10,-1,-1}; // 原數組
int max = 0;
int b = 0;
int length = sizeof(a) / sizeof(int); // 長度
for (int i = 0; i < length; i++) {
b = b + a[i] > a[i] ? b + a[i] : a[i];
max = max > b ? max : b;
}
printf("max=%i\n", max);
return 0;
}
顯然這個算法是o(n)時間復雜度的，講真最近學動態規划基本o(n^3)起步。動態規划兩個基本要素，首先最優子結構性質，全局最大值基於n個子問題b的最優解，而且可以看到b[j+1]是基於b[j]給出的，也就是一個問題是基於他的子問題的最優解來解決的，其次顯然子問題是有交叉的，求解b[j]需要b[j-1]，遞歸一下就需要b[j-2]，由此就出現了交叉。
PS：LeetCode上題號53 最大子序和就是這個問題，但是貌似子數組長度不為0，所以初始化會有一點變化。