最大連續子序列之和問題描述為：數組中里有正數也有負數，連續的一個或多個整數組成一個子數組，每個子數組都有一個和，求所有子數組的和的最大值。分析，對數組a進行一遍掃描，sum[i] 為前i個元素中，包含第i個元素且和最大的連續子數組，MaxSum保存當前子數組中最大和，對於a[i+1]來說，sum[i+1] = sum[i]+a[i+1]，此時如果sum[i+1]<0，那么sum需要重新賦0，從i+1之后開始累加，如果sum[i+1]>0，那么MaxSum = max(MaxSum, Sum[i+1])。代碼如下：
1 int maxSum(int *nArray, int nSize, int &nBegin, int &nEnd) 2 { 3 int nSum = 0, nMaxSum = 0; 4 int nNewBegin = 0; //記錄新的開始下標
5 nBegin = nEnd = 0; //記錄最大連續子數組和的起始於結束下標
6 for(int i=0; i!=nSize; i++) 7 { 8
9 nSum += nArray[i]; 10 if(nSum >= nMaxSum) 11 { 12 nMaxSum = nSum; 13 nBegin = nNewBegin; 14 nEnd = i; 15 } 16 else if(nSum < 0) 17 { 18 nSum = 0; 19 nNewBegin = i+1; 20 } 21 } 22
23 return nMaxSum; 24 } 25
26 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 27 { 28 int Array[5] = {2, -3, 4, 5, -100}; 29 int nBegin = 0, nEnd = 0; 30 int nMaxSum = maxSum(Array, sizeof(Array)/sizeof(*Array), nBegin, nEnd); 31 cout<<nMaxSum<<endl; 32 cout<<"開始下標為["<<nBegin<<"], 結束下標["<<nEnd<<"]"<<endl; 33
34 return 0; 35 }
最大連續子序列乘積，問題描述和前面求最大連續子序列之和類似：給一個浮點數序列，取最大乘積連續子串的值。這里需要重點注意的是乘積需要注意正負號，需要考慮到有偶數個的情況，所以計算時，不止要保存當前最大乘積，也要保存當前最小乘積。代碼如下：
1 double maxProduct(double a[], int nLen, int &nBegin, int &nEnd) 2 { 3 int nNewBegin = 0; 4 nBegin = nEnd =0; 5
6 double dCurMax = 1.0f; 7 double dCurMin = 1.0f; 8 double dMax = 1.0f; 9 double dMin = 1.0f; 10 for(int i=0; i!=nLen; i++) 11 { 12 dCurMax *= a[i]; 13 dCurMin *= a[i]; 14 cout<<"dCurMax = "<<dCurMax<<", dCurMin = "<<dCurMin<<endl; 15 if(dCurMax > dMax) 16 { 17 dMax = dCurMax; 18 nBegin = nNewBegin; 19 nEnd = i; 20 } 21 if(dCurMin > dMax) 22 { 23 dMax = dCurMin; 24 nBegin = nNewBegin; 25 nEnd = i; 26 } 27 if(dCurMax < dMin) 28 { 29 dMin = dCurMax; 30 } 31 if(dCurMin < dMin) 32 { 33 dMin = dCurMin; 34 } 35
36 if(dCurMax == 0 || dCurMin == 0) 37 { 38 dCurMax = dCurMin = 1; 39 nNewBegin = i+1; 40 } 41
42 cout<<"dMax = "<<dMax<<", dMin = "<<dMin<<endl; 43 cout<<"begin = "<<nBegin<<", end = "<<nEnd<<endl; 44 } 45
46 return dMax; 47 } 48
49 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 50 { 51 double a[] = { -2.5, 4, 0, 3, 0.5, 8, -2, -2}; 52 int nBegin, nEnd; 53 int max = maxProduct(a, sizeof(a)/sizeof(*a), nBegin, nEnd); 54 cout<<max<<endl; 55 cout<<nBegin<<" "<<nEnd<<endl; 56
57 return 0; 58 }
在網上看到使用動態規划的算法來處理此題目。假設從數組開頭 i 到結尾 j 的范圍，求出所有元素為結尾的子序列最大值，取其中最大的那個即為所求的最大連續子序列乘積。假設max(i, k)表示從數組 i 開始到 j 結束的范圍內，包含 j 作為結尾的最大連續子序列乘積，注意不一定以 i 作為起始，問題可以概括為max = max(max(i, i), max(i, i+1), ……, max(a, k), ……., max(i, j)) 。那么對於max(i, k)后面的max(i, k+1)來說，會有如下幾種情況：
- max(i, k)和a[k+1]均為正數，且max(i, k)*a[k+1] > max(i, k)，那么有 max(i, k+1) = max(i, k) * a[k+1]
- max(i, k)和a[k+1]一正一負，如果max(i, k)>0，a[k+1] < 0，那么乘積<0，而max(i, k+1)要包含a[k+1]，所以max(i, k+1) = a[k+1]，反之亦然
- max(i, k)為正數，a[k+1]為負數，不過max(i, k)之前相連的序列里有負數，那么前面包含負數的這個序列，必然是一個前面序列的最小值，此時max(i, k+1) = min(i, k) * a[k+1]
概括起來，包含第k+1個元素為結尾的序列最大乘積應該取自上述三種情況之一：max(i, k+1) = max(max(i, k) * a[k+1], a[k+1], min(i, k) * a[k+1])。
按照同樣的道理，我們求得的包含k+1在內結尾的最小乘積序列為：min(i, k+1) = min(min(i, k) * a[k+1], a[k+1], max(i, k) * a[k+1])。
代碼如下：
1 int maxProduct_DP(double a[], int n) 2 { 3 double maxCur = 1.0f; 4 double minCur = 1.0f; 5 double maxTmp = maxCur; 6 double minTmp = minCur; 7 double result = 0.0f; 8
9 for(int i=0; i!=n; i++) 10 { 11 maxTmp = max(maxCur*a[i], max(a[i], minCur*a[i])); 12 minTmp = min(maxCur*a[i], min(a[i], minCur*a[i])); 13
14 maxCur = maxTmp; 15 minCur = minTmp; 16
17 result = max(result, maxCur); 18 } 19
20 return result; 21 }