LeetCode：152_Maximum Product Subarray | 最大乘積連續子數組 | Medium

題目：Maximum Product Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product. 

For example, given the array [2,3,-2,4],
the contiguous subarray [2,3] has the largest product = 6. 

這道題屬於動態規划的題型，之前常見的是Maximum SubArray，現在是Product Subarray，不過思想是一致的。
當然不用動態規划，常規方法也是可以做的，但是時間復雜度過高（TimeOut），像下面這種形式：

// 思路：用兩個指針來指向字數組的頭尾
int maxProduct(int A[], int n)
{
    assert(n > 0);
    int subArrayProduct = -32768; 
    
    for (int i = 0; i != n; ++ i) {
        int nTempProduct = 1;
        for (int j = i; j != n; ++ j) {
            if (j == i)
                nTempProduct = A[i];
            else
                nTempProduct *= A[j];
            if (nTempProduct >= subArrayProduct)
                 subArrayProduct = nTempProduct;
        }
    }
    return subArrayProduct;
}

用動態規划的方法，就是要找到其轉移方程式，也叫動態規划的遞推式，動態規划的解法無非是維護兩個變量，局部最優和全局最優，我們先來看Maximum SubArray的情況，如果遇到負數，相加之后的值肯定比原值小，但可能比當前值大，也可能小，所以，對於相加的情況，只要能夠處理局部最大和全局最大之間的關系即可，對此，寫出轉移方程式如下：
local[i + 1] = Max(local[i] + A[i], A[i]);

global[i + 1] = Max(local[i + 1], global[i]);

對應代碼如下：

int maxSubArray(int A[], int n)
{
    assert(n > 0);
    if (n <= 0)
        return 0;
    int global = A[0];
    int local = A[0];
    
    for(int i = 1; i != n; ++ i) {
        local = MAX(A[i], local + A[i]);
        global = MAX(local, global);
    }
    return global;
}

而對於Product Subarray，要考慮到一種特殊情況，即負數和負數相乘：如果前面得到一個較小的負數，和后面一個較大的負數相乘，得到的反而是一個較大的數，如{2，-3，-7}，所以，我們在處理乘法的時候，除了需要維護一個局部最大值，同時還要維護一個局部最小值，由此，可以寫出如下的轉移方程式：

max_copy[i] = max_local[i]
max_local[i + 1] = Max(Max(max_local[i] * A[i], A[i]),  min_local * A[i])

min_local[i + 1] = Min(Min(max_copy[i] * A[i], A[i]),  min_local * A[i])

對應代碼如下：

#define MAX(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define MIN(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

int maxProduct1(int A[], int n)
{
    assert(n > 0);
    if (n <= 0)
        return 0;

    if (n == 1)
        return A[0];
    int max_local = A[0];
    int min_local = A[0];

    int global = A[0];
    for (int i = 1; i != n; ++ i) {
        int max_copy = max_local;
        max_local = MAX(MAX(A[i] * max_local, A[i]), A[i] * min_local);
        min_local = MIN(MIN(A[i] * max_copy, A[i]), A[i] * min_local);
        global = MAX(global, max_local);
    }
    return global;
}

總結：動態規划題最核心的步驟就是要寫出其狀態轉移方程，但是如何寫出正確的方程式，需要我們不斷的實踐並總結才能達到。