原題（略有刪減）：對於有理數 a、b、n、d，若 |a - n| + |b - n| = d，則稱 a 和 b 關於 n 的相對關系值為 d. 若 a0 和 a1 關於 1 的相對關系值為 1；a1 和 a2 關於 2 的相對關系值為 1；a2 和 a3 關於 3 的相對關系值為 1；...；a20 和 a21 關於 21 的相對關系值為 1，則
(1) a0 + a1 的最大值為 ___；
(2) a1 + a2 + a3 + ... + a20 的值為 ____________（用含 a0 的式子表示）.
分析與解： |a - n| + |b - n| = d 的幾何意義是數軸上 a 和 b 兩個動點到定點 n 的距離之和等於 d. 由此可知，動點 a 離定點 n 的距離不能大於 d，所以 a 最大能取 n + d，最小能取 n - d. 同理，b 最大能取 n + d，最小能取 n - d.
由題設條件，有以下 21 個等式：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
|a1 - 2| + |a2 - 2| = 1 【2】
|a2 - 3| + |a3 - 3| = 1 【3】
...
|a19 - 20| + |a20 - 20| = 1 【20】
|a20 - 21| + |a21 - 21| = 1 【21】
由【1】可知，a0 和 a1 都要 ≥ 0 且 ≤ 2；
由【2】可知，a1 和 a2 都要 ≥ 1 且 ≤ 3；
由【3】可知，a2 和 a3 都要 ≥ 2 且 ≤ 4；
...
由【20】可知，a19 和 a20 都要 ≥ 19 且 ≤ 21；
由【21】可知，a20 和 a21 都要 ≥ 20 且 ≤ 22.
a1 受【1】和【2】的約束，故有 1 ≤ a1 ≤ 2；
a2 受【2】和【3】的約束，故有 2 ≤ a2 ≤ 3；
a3 受【3】和【4】的約束，故有 3 ≤ a3 ≤ 4；
...
a19 受【19】和【20】的約束，故有 19 ≤ a19 ≤ 20；
a20 受【20】和【21】的約束，故有 20 ≤ a20 ≤ 21.
於是，上面的 21 個等式可以展開為：
|a0 - 1| + a1 - 1 = 1
2 - a1 + a2 - 2 = 1
3 - a2 + a3 - 3 = 1
...
20 - a19 + a20 - 20 = 1
21 - a20 + |a21 - 21| = 1
前 20 個等式進一步化簡，有：
a1 = 2 - |a0 - 1|
a2 = a1 + 1
a3 = a2 + 1
...
a20 = a19 + 1
於是：
a1 = 2 - |a0 - 1|
a2 = 3 - |a0 - 1|
a3 = 4 - |a0 - 1|
...
a20 = 21 - |a0 - 1|
所以 a1 + a2 + a3 + ... + a20 = 230 - 20|a0 - 1|.
再看 a0 + a1 的最大值. 由題設 a0 和 a1 滿足：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
當 a1 取固定某個值時，記 c = 1 - |a1 - 1| ，則有 |a0 - 1| = c，此時 a0 = c + 1 或 -c + 1；因為 c + 1 ≥ -c + 1，所以考察 a0 + a1 的最大值時，只需考慮 a0 = c + 1，即 a0 ≥ 1 的情形.
由上面分析，已知 1 ≤ a1 ≤ 2，因此考察 a0 + a1 的最大值時，只需考慮 a0 ≥ 1 且 a1 ≥ 1 的情形. 此時，【1】可展開為：
a0 - 1 + a1 - 1 = 1
即 a0 + a1 = 3
且有 a0 = 1，a1 = 2 時，滿足 a0 + a1 = 3，所以 a0 + a1 的最大值為 3.
附言：
|a - n| + |b - n| = d 的幾何意義還可以用數軸上一顆釘子和一根繩子來形象刻畫：
一根不能拉長或收縮的繩子，長度為 d，一顆釘子釘在數軸上點 n 的位置，繩子整體在數軸上移動，但被釘子約束了活動范圍，即不能脫離開釘子. 繩子的兩端對應動點 a 和 b. 以下是幾個典型的場景（約定數軸的正向朝東）：
1). 繩子的一端 a 被拉到最東側，此時 a = n + d，b = n；
2). 繩子的一端 b 被拉到最東側，此時 b = n + d，a = n；
3). 繩子的一端 a 被拉到最西側，此時 a = n - d，b = n；
4). 繩子的一端 b 被拉到最西側，此時 b = n - d，a = n；
5). 繩子的兩端 a 和 b 被拉到釘子東側同一位置，此時 a = b = n + d/2；
6). 繩子的兩端 a 和 b 被拉到釘子西側同一位置，此時 a = b = n - d/2.
比如用拉繩法來形象地看一下 a0 + a1 的最大值問題. 由題設 a0 和 a1 滿足：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
相對應地，有一根單位長度的繩子，其上有一顆釘子釘在數軸上數 1 對應的點上， a0 和 a1 是繩子的兩端.
為使 a0 + a1 取最大值，直覺是應讓 a0 和 a1 都盡量往東靠.
當 a1 被拉到最東側時，a1 = 2，a0 = 1，有 a0 + a1 = 3；
此時抓住繩子兩端讓 a0 和 a1 在釘子東側做拉鋸運動，即保持 a0 ≥ 1 和 a1 ≥ 1，於是【1】等價於 a0 + a1 = 3.
事實上，僅限定【1】這一個約束條件，a0 + a1 的最大值依然為 3.