本題解法頗為復雜, 因此謂之"燒腦". 期待有簡單解法的數學愛好者交流討論.
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Whitlock 先生在數學課上與學生們做金錢游戲. 首先, Whitlock先生給全班學生按照 $1-n$ 編號, 其中 $n \ge 2$. 接着, 他給第 $i$ 名學生 $m_i$ 元, 其中 $1 \le i \le n$, $m_i$ 是非負整數且 $m_1 + m_2 + \cdots + m_n \ge 1$.
若某個學生的錢不少於其他任何人, 則被稱為給予者; 反之, 若某個學生的錢不多於其他任何人, 則被稱之為接受者. 游戲規則如下: 每一個給予者給每位接受者1元(這一過程可能會導致該給予者賬戶金額為負值). 這個過程將反復進行直至出現以下兩種情形之一:
a. 規則一: 所有學生賬戶金額相同;
b. 規則二: 所有學生賬戶金額情形與之前某次情形相同.
1. 試給出 $n, m_1, m_2, \cdots, m_n$ 之適當取值, 並說明: 若游戲過程中出現至少有一名學生賬戶金額為負值, 則該游戲將按照規則二之情形結束.
2. 假設存在 $k_n$, 滿足 $m_1 + m_2 + \cdots + m_n \ge k_n$ 且不會出現任何一個學生賬戶金額為負值, 求出 $k_n$ 之最小可能值.
3. 假設 $n = 5$, 若游戲結束時所有學生賬戶金額相同, 求出所有滿足條件的五元數組 $(m_1, m_2, m_3, m_4, m_5)$, 其中 $m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4 \le m_5$.
解答:
前兩問難度不大, 只需要給出合理模型即可. 第三問可以依據前兩問的線索繼續尋找答案, 但是需要進行比較復雜的分類討論. 具體解法如下:
1. 令 $n = 5$, $(m_1, m_2, m_3, m_4, m_5) = (0, 0, 0, 1, 2)$. 由題意得 $$(0, 0, 0, 1, 2)\rightarrow (1, 1, 1, 1, -1) \rightarrow (0, 0, 0, 0, 3)\rightarrow (1, 1, 1, 1, -1).$$ 第二次出現 $(1, 1, 1, 1, -1)$, 故游戲結束.
2. 仍考慮 $n = 5$ 的情形, 當出現賬戶金額負值時, 五人錢數總和最大值為 $$(m_1, m_2, m_3, m_4, m_5) = (2, 2, 2, 2, 3) \Rightarrow m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 = 11.$$ 若錢數之和為12, 則可保證至少有1人不少於4元或至少有2人有3元. 無論哪種情形, 都可確保不出現賬戶負值.
下面考慮 $n$ 的情況. 類似的, 當賬戶金額出現負值時, $n$ 名學生錢數總和最大值為 $$(m_1, m_2, \cdots, m_n) = (n-3, n-3, \cdots, n-2)\Rightarrow (n-3)(n-1) + (n - 2) = n^2 - 3n + 1,$$ 游戲第一輪后將導致最后一人錢數變為 $n-2 - (n - 1) = -1$. 若總錢數增加1元, 則可以保證至少有1人不少於 $(n-1)$ 元或至少有2人有 $(n-2)$ 元. 無論哪種情形, 都可以確保不出現賬戶負值.
因此 $k_n = n^2 - 3n + 2$.
3. 若五人最后錢數相等, 即總錢數必為5的倍數, 不妨設之為 $5m$. 因此游戲結束時每個學生都恰有 $m$ 元. 此外, 在游戲過程中若有人錢數為 $m$, 則將保持至游戲結束不發生變化(即只有錢數非 $m$ 的人之間會互相給予或接受). 下面依據分別有四個人錢數相等, 三個人錢數相等及兩個人錢數相等來討論各種不同情形:
(1) $m_1 = m_2 = m_3 = m_4 < m_5$ 或 $m_1 < m_2 = m_3 = m_4 = m_5$ 時. 前者只需第五個人每次給前四人各1元直至每人都有 $m$ 元. 后者結論類似.
(2) $m_1 < m_2 = m_3 = m_4 < m_5$ 時. 第五人每次給第一人1元直至 $m_1 = m_2 = m_3 = m_4$, 此時即為第一種情形.
(3) $m_1 = m_2 = m_3 < m_4 \le m_5$ 時. 前三人在游戲過程中始終保持錢數相同, 即同為給予者, 接受者或既非給予者亦非接受者(不妨稱為中立者).
a. 若三人同為給予者或接受者, 且其余兩人錢數相同時, 則此三人每次增加或減少2元, 最終五人錢數相同(若不然,假設三人錢數只在 $m-1, m+1$ 之間, 則其余兩人錢數之和為奇數).
b. 若三人同為給予者或接受者, 且其余兩人錢數不同時, 不妨設之為 $m_1 = m_2 = m_3 < m_4 < m_5$, 易知第五個人持續給前三人錢直至 $m_1 = m_2 = m_3 = m_4 < m_5$, 此即為第一種情形.
c. 若三人同為中立者, 此即為第二種情形.
(4) $m_1 \le m_2 < m_3 = m_4 = m_5$ 時. 此時有兩種情況:
a. $m_1 = m_2 < m_3 = m_4 = m_5$ 時, 后三人一直為給予者, 直至五人錢數相同.
b. $m_1 < m_2 < m_3 = m_4 = m_5$ 時, 與第三種情形對稱, 因此最終五人錢數相同.(5) $m_1 = m_2 < m_3 < m_4 = m_5$ 時. 令 $k = \min\{m_3 - m_2, m_4 - m_3\}$.
a. 若 $k$ 為偶數, 如 $(0, 0, 9, 13, 13)$ 或 $(0, 0, 2, 9, 9)$, 則經過 ${k\over2}$ 次操作后出現三人錢數相同, 即為第三或第四種情形.
b. 若 $k$ 為奇數, 如 $(0, 0, 1, 7, 7)$ 或 $(0, 0, 6, 7, 7)$, 則在游戲過程中必出現 $t_1 = t_2 < t_3 < t_4 = t_5$ 且 $t_3 = t_2 + 1$ (或其對稱情形 $t_4 = t_3 + 1$). 此時 $t_4 = t_5 = t_2 + 5p+ 2$, 其中 $p$ 是非負整數. 若 $p = 0$, 則出現 $(m-1, m-1, m, m+1, m+1)$ 之情形. 若 $p \ge 1$ 則有 $$(t_2, t_2, t_2+1, t_2+5p+2, t_2 + 5p+2)$$ $$\rightarrow (t_2+2, t_2+2, t_2+1, t_2+5p, t_2 + 5p)$$ $$\rightarrow (t_2+2, t_2+2, t_2+3, t_2+5p-1, t_2 + 5p-1)$$ 若 $p = 1$, 則出現 $(m-1, m-1, m, m+1, m+1)$ 之情形. 若 $p \ge 1$, 則可繼續上述過程. 因此無論 $p$ 取何值, 均出現 $(m-1, m-1, m, m+1, m+1)$ 之情形, 即不可能五人錢數相等.
(6) $m_1 = m_2 < m_3 = m_4 < m_5$ 時. 令 $k = m_5 - m_4$.
a. 若 $k$ 為偶數, 則經過 ${k\over2}$ 次操作后出現后三人錢數相同或前四人錢數相同, 如 $(0, 0, 7, 7, 11)$ 或 $(0, 0, 1, 1, 3)$. 無論哪種都與前面討論情形相同, 即最終五人錢數相等.
b. 若 $k$ 為奇數, 如 $(0, 0, 5, 5, 10)$, 經過三次操作后變為 $(3, 3, 5, 5, 4)$, 即為第五種情形中后一種情況, 即不可能出現五人錢數相等. 又如 $(0, 0, 2, 2, 11)$, 經過兩次操作后變為 $(2, 2, 2, 2, 7)\rightarrow (3,3,3,3,3)$, 即可以保證最終五人錢數相同. 以上兩個例子區別在於 $m_3 - m_2$ 與 $k$ 之大小關系不同. 即當 $k > 2(m_3 - m_2)$ 時, 可出現五人錢數相同(暨會出現前四人相同情形); 反之, 當 $k < 2(m_3 - m_2)$ 時, 不能出現五人錢數相同(暨第五種情形中后一種情況).
(7) $m_1 < m_2 = m_3 < m_4 = m_5$ 時. 通過操作后出現前三人錢數相同或后四人錢數相同或 $m_1 = m_2 < m_3 < m_4 = m_5$ 之情形.
下面考慮將上述七種情形應用於 $m_1 \le m_2 \le m_3 \le m_4 \le m_5$ 之一般情形. 易知, 第一步操作一定會出現 $m_5$ 給予 $m_1$ (否則五人錢數已經相等), 關鍵在於操作后是否出現 $m_1 = m_2$ 或 $m_5 = m_4$. 因此, 考慮比較 $m_2 - m_1$ 與 $m_5 - m_4$ 之大小關系.
不妨設 $m_2 - m_1 \le m_5 - m_4$. 首先 $m_5$ 給予 $m_1$ 錢數為 $m_2 - m_1$ 使之與 $m_2$ 相同(可視作若干步操作), 即 $$(m_1, m_2, m_3, m_4, m_5)\rightarrow (m_2, m_2, m_3, m_4, m_5^\prime),$$ 其中 $m_5^\prime = m_5 - m_2 + m_1$. 注意此時實際上是前述討論之第五, 第六兩種情形, 暨 $m_1 = m_2 \le m_3 \le m_4 \le m_5$. 令 $k = m_5^\prime - m_4$.
(1) 若 $k \ge 2(m_3 - m_2)$, 則通過操作可使得 $m_1 = m_2 = m_3$, 即出現三人錢數相等之情形. 依據前述討論可知, 最終五人錢數相等.
(2) 若 $k < 2(m_3 - m_2)$ 且為偶數(暨 $m_1 + m_2 + m_4 + m_5$ 是偶數), 則通過 ${k\over2}$ 步操作后 $m_4 = m_5^\prime$, 此時前兩人錢數均為 $$m_2 + {m_5^\prime - m_4 \over2} = {m_1 + m_2 + m_5 - m_4\over2}.$$ 由前述第五種情形之討論可知, 當且僅當 $\min\left\{m_4 - m_3, m_3 - {m_1 + m_2 + m_5 - m_4\over2}\right\}$ 是偶數時最終五人錢數相等.
(3) 若 $k < 2(m_3 - m_2)$ 且為奇數, 則通過若干步操作后, $m_4 = m_5^\prime - 1$. 此后 $m_4, m_5$ 輪流給予 $m_1, m_2$ 直至 $m_1 = m_2 = m_3$ 或 $m_4, m_5$ 中的一個與 $m_3$ 錢數相等.
a. 若為前者, 即 $m_4 + m_5 - 2m_3 > 2m_3 - m_1 - m_2$, 則由前述討論可知最終五人錢數相等.
b. 若為后者, 即 $m_1 = m_2 < m_3 = m_4 < m_5$, 則由前述第六種情形討論可知, 五人錢數不可能相等.
同理, 可對 $m_2 - m_1 > m_5 - m_4$ 做類似討論.
綜上, 當游戲結束時出現五人錢數相等的情形為:
(1) $m_2 - m_1 \le m_5 - m_4$ 且滿足以下三個條件之一:
a. $m_5 - m_4 \ge 2m_3 - m_2 -m_1$;
b. $m_1 + m_2 + m_4 + m_5$ 和 $\min\left\{m_4 - m_3, m_3 - {m_1 + m_2 + m_5 - m_4\over2}\right\}$ 均為偶數;
c. $m_1 + m_2 + m_4 + m_5$ 為奇數且 $m_4 + m_5 - 2m_3 > 2m_3 - m_1 - m_2$.
(2) $m_2 - m_1 > m_5 - m_4$ 且滿足以下三個條件之一:
a. $m_2 - m_1 \ge m_4 + m_5 - 2m_3$;
b. $m_1 + m_2 + m_4 + m_5$ 和 $\min\left\{m_3 - m_2, {m_1 - m_2 + m_4 + m_5\over2} - m_3\right\}$ 均為偶數;
c. $m_1 + m_2 + m_4 + m_5$ 為奇數且 $2m_3 - m_1 - m_2 > m_4 + m_5 - 2m_1$.
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