原題：如圖，在正🔺ABC 內作射線 AD，∠BAD = α（30° < α < 60°），點 B 關於 AD 的對稱點為 E. 連接 EC 並延長交 AD 於點 F.
(1) 求 ∠AFE 的度數；
(2) 用等式表示線段 AF、CF、EF 之間的數量關系，並證明.
解：(1) 由題設知 AC = AB = AE，∠DAE = ∠BAD = α，於是
∠ACE = ∠AEC
∠FAC = ∠BAC - ∠BAD = 60° - α
∠CAE = ∠DAE - ∠FAC = α - (60° - α) = 2α - 60°
∠ACE = (180° - ∠CAE) / 2 = (180° - 2α - 60°) / 2 = 120° - α
∠AFE = ∠ACE - ∠FAC = 120° - α - (60° - α) = 60°
(2) 由簡單觀察初步判斷 AF > EF > CF，猜測 AF = EF + CF.
證法一：連接 BF 並延長至點 G，使得 FG = CF，連接 CG，如下圖所示：
由點 B 和點 E 關於 AD 對稱可知 BF = EF，∠AFB = ∠AFE = 60°，於是
∠GFC = 180° - ∠AFB - ∠AFE = 60°，再由 FG = CF 可知 🔺CFG 為正三角形.
於是 CG = CF，∠GCB = ∠GCF + ∠FCB = 60° + ∠FCB = ∠FCA
再結合 BC = AC，可知 🔺BCG ≌ 🔺ACF (SAS)【前者繞點 C 順時針旋轉 60° 便與后者重合】
於是 AF = BG = BF + FG = EF + CF.
證法二：延長 FE 至點 G，使得 EG = CF，連接 AG，如下圖所示：
易知 🔺ACF ≌ 🔺AEG (SAS)，於是AF = AG
再結合 ∠AFE = 60°，可知 🔺AFG 為正三角形， 於是
AF = FG = EF + EG = EF + CF.
證法三：延長 FE 至點 G，使得 FG = AF，連接 AG，同上圖所示。
由 🔺AFG 為正三角形，同樣易知 🔺ACF ≌ 🔺AEG，繼而有 EG = CF，於是
AF = FG = EF + EG = EF + CF.
證法四：連接 BF，在 AF 取點 G 使得 GF = BF，連接 BG，如下圖所示：
易知 🔺BFG 為正三角形，進而可知 🔺BAG ≌ 🔺BCF 【前者繞點 B 順時針旋轉 60° 便與后者重合】
從而有 AG = CF，於是
AF = FG + AG = BF + CF = EF + CF.
證法五：連接 BF，在 AF 取點 G 使得 GF = CF，連接 CG，如下圖所示：
易知 🔺CFG 為正三角形，進而可知 🔺BCF ≌ 🔺ACG 【前者繞點 C 順時針旋轉 60° 便與后者重合】
從而有 BF = AG，於是
AF = AG + FG = BF + CF = EF + CF.