問題描述
設隨機事件 A，B，C 滿足 \(P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, \ P(AB) = 0, \ P(AC) = P(BC) = \frac{1}{12}\)，求 A，B，C 恰有一個發生的概率.
分析：
A，B，C 三個事件恰好有一個發生 \(\Leftrightarrow\) 至少一個發生 - 至少兩個發生
可以借助韋恩圖來理解：
恰好有一個發生就是各個圓中沒有和其他圓重合的部分之和.
解：
\(P(A \bigcup B \bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) = \frac{3}{4} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\)
\(P(AB \bigcup BC \bigcup AC) = P(AB) + P(BC) + P(AC) - P(ABC) - P(ABC) - P(ABC) = \frac{2}{12}\)
\(\Rightarrow\)
A，B，C 恰有一個發生的概率為：
\(P(A \bigcup B \bigcup C) - P(AB \bigcup BC \bigcup C) = \frac{7}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\)